東大塾長の山田です。
このページでは、 「 剰余の定理 」について解説します 。
今回は 「剰余の定理」の公式と証明 に加え、 「剰余の定理と因数定理の違い」 についても解説しています。
さいごには剰余の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで勉強の参考にしてください! 1. 剰余の定理とは? それではさっそく 剰余の定理 について解説していきます。
1. 1 剰余の定理(公式)
剰余の定理は、余りを求めるときにとても便利な定理 です。
具体例は次の通りです。
【例】
整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を
\( x – \color{red}{ 1} \) で割った余りは \( P(1) = \color{red}{ 1}^3 – 3 \cdot \color{red}{ 1}^2 + 7 = 4 \)
\( x + 2 \) で割った余りは \( P(-2) = (-2)^3 – 3 \cdot (-2)^2 + 7 = -13 \)
このように、 剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができます 。
1. 整式の割り算，剰余定理 | 数学入試問題. 2 剰余の定理の証明
なぜ剰余の定理が成り立つのか、証明をしていきます。
剰余の定理の証明はとてもシンプルです。
よって、\( \color{red}{ P(\alpha) = R} \) となり、証明ができました。
2. 【補足】割る式の1次の係数が1でない場合
割る式の \( x \) の係数が1でない場合の余り は、次のようになります。
補足
整式 \( P(x) \) を1次式 \( (ax+b) \) で割ったときの余りは \( \displaystyle P \left( – \frac{b}{a} \right) \)
整式 \( P(x) = x^3 – 3x^2 + 7 \) を \( 2x + 1 \) で割った余り \( R \) は
\( \displaystyle R = P \left( – \frac{1}{2} \right) = \frac{49}{8} \)
3. 【補足】剰余の定理と因数定理の違い
「剰余の定理と因数定理の違いがわからない…」 と混同されてしまうことがあります。
剰余の定理の余りが0 の場合が、因数定理 です 。
余りが0ということは、
\( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + 0 \)
ということなので、両辺に \( x= \alpha \) を代入すると
\( P(\alpha) = 0 \)
が得られます。
また、「\( x- \alpha \) で割ると余りが0」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) で割り切れる」\( \Leftrightarrow \)「\( x- \alpha \) を因数にもつ」ということです。
したがって、因数定理
が成り立ちます。
3.
整式の割り算，剰余定理 | 数学入試問題
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r整式の割り算の余り(剰余の定理) | おいしい数学. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された.
剰余の定理まとめ（公式・証明・問題） | 理系ラボ
剰余の定理(重要問題)①/ブリリアンス数学 - YouTube
整式の割り算の余り(剰余の定理) | おいしい数学
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』(図録、東京都庭園美術館・日本経済新聞社、2021)など。
*吉田知哉(よしだともや) 氏
(株式会社コンセント/編集者)
編集者、クリエイティブディレクター。株式会社コンセント Design Leadership所属。ブランディング支援、メディア戦略支援、事業開発支援、出版事業等に従事。デザイン関連書を数多く手がけており、主な仕事としては『ブルーノ・ムナーリの本たち』(東京ADC賞)、森岡督行『BOOKS ON JAPAN 1931‒1972 日本の対外宣伝グラフ誌』、ヨゼフ・ミューラー゠ブロックマン『遊びある真剣、真剣な遊び、私の人生 解題:美学としてのグリッドシステム』、岡秀行編著『包:日本の伝統パッケージ、その原点とデザイン』等がある。「一冊の本を売る本屋」で知られる、株式会社森岡書店の共同経営者でもある。
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【ライブ配信セミナー】再生医療に役立つ足場材料研究開発の最前線 8月27日（金）開催 主催：(株)シーエムシー・リサーチ｜Cmcリサーチのプレスリリース
再生医療における足場材料の役割
a) 再生医療の現状及び要素技術
b) 足場材料の機能及び役割
2. 足場材料の必要条件
a) 足場材料の必要条件及び種類
b) 足場材料と細胞の相互作用
c) 生体適合性
d) 生体吸収性
e) 力学強度
f) 足場材料の機能評価
3. 包む－日本の伝統パッケージ ｜ 2021年 ｜ 過去の展覧会 ｜ 展覧会 ｜ 目黒区美術館. 足場材料の現状
a) 足場材料の種類
b) 生体吸収性合成高分子の足場材料
c) 天然高分子の足場材料
d) 細胞外マトリックス足場材料
e) 自家足場材料
f) 複合足場材料
g) 階層構造の足場材料
h) パターン化構造の足場材料
4. 足場材料の作製技術
a) ポローゲンリーチング法
b) 相分離法
c) 乳濁液凍結乾燥法
d) 繊維融着法
e) 三次元プリンティング法
f) 氷微粒子法
g) 生体模倣型マトリックス材料の作製法
h) 自家足場材料の作製法
i) 複合多孔質材料の作製法
5. 足場材料の再生医療への応用
a) 軟骨再生
b) 骨再生
c) 骨・軟骨再生
d) 皮膚再生
e) 筋肉再生
f) 心臓再生
g) 肝臓再生
h) 肺再生
6. 中国における再生医療及び足場材料の研究開発現状
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