」で紹介しました。 ユークリッド互除法は、「 aをbで割った余りをrとすると、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しい(a・bは自然数) 」という性質を用いて、2つの自然数の最大公約数を求める手法です。 言葉で説明しても少しむずかしいので、実際に13と5の最大公約数を求めてみましょう。 13=5×2+3 13と5の最大公約数は5と3の最大公約数と同じなので… 5=3×1+2 3=2×1+1 3と2の最大公約数は2と1の最大公約数と同じなので 「1」 と求められました。さかのぼって考えると、13と5の最大公約数は「1」だと分かりますね。しかし、実はそれはまったく重要ではありません…。 どういうこと? ?と思っているかもしれませんが、とりあえず先に進んでいきましょう。なんでそうするの?という疑問は置いておいて、先ほどの式を変形してみます。 13=5×2+3 → 3=13-5×2(式①) 5=3×1+2 → 2=5-3×1(式②) 3=2×1+1 → 1=3-2×1(式③) それでは、 式③の「2」に式②を代入してみます 。式を整理するときに、5と3を残しておくことに注意しましょう。 1=3-(5-3×1)×1=5×(-1)+3×2(途中の計算過程は下記の通り) 次は、この式に式①を代入します。このとき、13と5を残して整理しましょう。途中の計算式は以下のとおりです。 1=5×(-1)+(13-5×2)×2 =13×2+5×(-5) さて、みなさんお気づきですか?なんと、はじめに示した一次不定方程式13x+5y=1の 1つの整数解が見つかっています 。そうなると、あとは簡単ですね。 2つの式を引き算して… 13(x-2)+5(y+5)=0 この一次不定方程式の整数解は、x=-5k+2, y=13k-5(kは整数)です。 ユークリッド互除法を用いて、1=〇-□×1の式を作り、□に1つ前の式を代入していくと、不定方程式の整数解を求められます。一次不定方程式の解き方、理解できたでしょうか?
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無限降下法(応用) 問題. 不定方程式 $a^2+b^2=3(x^2+y^2) …①$ の整数解を求めなさい。 さあラストの問題。 もちろん $a=b=x=y=0$ が解の一つであることはすぐにわかりますね。 さて、先にお伝えしてしまうと… 実はこの不定方程式、「全部 $0$ 」以外の整数解が存在しません!
HOME ノート ユークリッドの互除法による1次不定方程式の特殊解の出し方 タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 数Aの整数で,ほとんどの生徒を1度は悩ます問題がこれです.1次不定方程式で特殊解が暗算で見つからない場合の対処法を扱います. ユークリッドの互除法 が既習である前提です. ユークリッドの互除法による1次不定方程式の特殊解の出し方(例題) 例題 $155x+42y=1$ を満たす整数 $(x, y)$ の組を1組求めよ. 講義 勘で見つけるのが困難なタイプです.教科書通りの正攻法で解く方法を解説します. $155$ が $x$ 個と,$42$ が $y$ 個足して $1$ になるという問題で(当然今回は $x$ か $y$ どちらか負), ユークリッドの互除法 を使って解きます. 解答と解説 ユークリッドの互除法を用いて,$155$ と $42$ の最大公約数が1(互いに素)であることを計算して確認します. 上のように,余りが最大公約数である1になったらやめます. そして, 余りが重要なので,一番下の余りに色をつけます.余りはすぐ割る数にもなるので,2段目の余りにも色をつけます. ユークリッドの互除法（その②）（一次不定方程式と裏ワザ） - YouTube. 次に, 方程式の係数である $155$ と $42$ に違う色をつけます. 準備ができました. 余り = 割られる数 ー 割る数 ×商 というブロックを,当てはめては整理してを繰り返していきます.今回ならば $1$ = $13$ ー $3$ $\times 4$ $3$ = $29$ ー $13$ $\times 2$ $13$ = $42$ ー $29$ $\times 1$ $29$ = $155$ ー $42$ $\times 3$ 4本のブロックを材料として用意します. 1番上のブロックから始めて,右辺の色がついた数字をまるで文字かのように破壊しないように扱い, 色がついた数字の小さい方をブロックを使って代入しては整理してを繰り返します. 最後の行を見ると, $\boldsymbol{155}$ が $\boldsymbol{(-13)}$ 個と $\boldsymbol{42}$ が $\boldsymbol{48}$ 個で $\boldsymbol{1}$ になる ことがわかりますので求める答えは $(x, y)=\boldsymbol{(-13, 48)}$ 式変形の心構え 右辺は常に,色がついた数字は2種類になるようにし,ブロックを使って 小さい色 を式変形をします.変形したらその都度整理するようにします.
こんにちは、ウチダショウマです。 「 不定方程式(ふていほうていしき) 」と一口に言いましても、いろんな形のものがあります。 特に、$ax+by=c$ の形は「一次不定方程式」と言われ、こちらの記事でより詳しく解説しています。 あわせて読みたい 一次不定方程式の解き方とは?【応用問題3選もわかりやすく解説します】 「一次不定方程式」の解き方がよくわからない?本記事では、一次不定方程式の特殊解の見つけ方から、ユークリッドの互除法を用いる問題、さらに一次不定方程式の応用問題3選まで、わかりやすく解説します。「一次不定方程式マスター」になりたい方必見です。 数学太郎 一次不定方程式も重要だけど、他の不定方程式の解き方も知りたいな。 数学花子 解き方が $4$ パターンあるとのことですが、詳しく解説してもらいたいです。 よって本記事では、不定方程式の解き方 $4$ パターンを、 不定方程式の問題 $9$ 選 を通して 東北大学理学部数学科卒業 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ の僕がわかりやすく解説します。 ※本記事において、途切れている数式が数多く出てきますが、すべて横にスクロールできますのでご安心ください。(スマホでご覧の方対象。) スポンサーリンク 目次 不定方程式の解き方4パターンとは? 不定方程式の解き方 $4$ パターン 一次不定方程式 → ユークリッドの互除法を活用。 二次不定方程式 → 因数分解できればする。 できない場合…判別式 $D$ の条件から候補を絞る。 分数不定方程式 → 下から(上から)評価。 これは必ず押さえておきたいですね☆ 重要なので、表でもまとめておきます。 不定方程式の種類 解くために必要な知識 一次不定方程式 ユークリッドの互除法 二次不定方程式 (因数分解できる) 因数分解 二次不定方程式 (因数分解できない) 判別式 $D$ 分数を含む不定方程式 下から(上から)評価する技術 ※数学で「評価する」と言う場合、「不等式を使って大小関係を表すこと」を意味します。 実際に問題を解いていった方がわかりやすいため、早速ですが次に参ります! 不定方程式の問題9選 具体的には 一次不定方程式【2問】 二次不定方程式(因数分解できる)【3問】 二次不定方程式(因数分解できない) 分数を含む不定方程式【 2 問】 無限降下法(応用) 計 $9$ 問を解説していきます。 ウチダ それぞれリンクになってますので、好きな所から読み進めてもOKです!
〜ある日の授業〜 それでは今日は一次不定方程式の問題を解いていきましょう。 具体的には次のような問題ですね。 次の一次不定方程式の整数解を求めよ。 17x+5y=1 こんなの簡単だぜ! x=-2, y=7だろ? 何故なら代入したら式が成り立つからな! 確かに、たろうさんくらい頭がよければ解き方など知らなくても直感で答えがわかってしまうかもしれませんね。 しかし、 「x=-2, y=7」だけではこの問題では不十分ですよ 。 例えば 「x=3, y=−10」なども答え になってしまいますから、文字を使って全ての答えの形を示さなければなりません。 ぐぬぬ……だったらさっさと教えやがれッ……! その正しい解き方ってやつをよおおおおッ! テメェにはその『義務』があるッ!
2g ・豆乳(200g)6. 4g ・絹(150g)7. 4g ・木綿豆腐(150g)9. 9g ・ツナ缶(1缶)12. 5g ・サラダチキン(100g) 18. 8g ・豚肉ロース 80g 15. 4g ・牛肉ロース 80g 16. 2g ◆糖質制限ダイエットは効果なし?
4g ・マヨネーズ 0. 5g ・しょうゆ 1. 8g ・ポン酢しょうゆ 2. 1g ・たまり醤油 2. 9g ・味噌 3g ・ケチャップ 3. 8g ・ウスターソース 4. 7g ・中濃ソース 5. 3g ・薄力粉 6. 5g ・本みりん 7. 8g ・砂糖 8. 2g ・みりん風調味料 10. 4g ※種類により若干異なります。 ◆油断しがちなおやつひと口の糖質 コンビニで売っているミニパックのチョコレート菓子などは、仕事の合間についつまんでしまいがち。 菓子類はそもそも糖質量が多いので、一回に食べる量が少なくても、糖質量が多くなりがちです。 「1個なら大丈夫だろう」「ひと口だけなら…」と油断していると、実は結構な糖質量になっていることもあるのです。 甘いもの以外にも、おせんべいやスナック菓子などは材料が米や小麦粉なので、やはり糖質が高くなります。 また、意外に盲点なのが、無意識に口に入れてしまいがちな粒ガムやミントタブレットです。 特にガムは、商品により異なりますが、キシリトール系のものでも糖質が意外と含まれていることが成分表示を見ると分かります。 一度に大量に食べることはないと思いますが、一応、注意が必要です。 ◆おやつの糖質量 ・チョコレート (※スティックパック10個入の個包装1個分) ミルク 2. 12g ブラック 2. 03g ・粒ガム 1粒 1. 3g ・果汁グミ 1粒 3. 4g ・フルーツキャンディー 1粒 4. 2g ・キャラメル 1粒 4. 8g ・バタークッキー 1枚 5. 2g ・サラダせんべい 1枚 5. 85g ・ドライマンゴー 10g 7. 7g ※メーカーや種類により若干異なります。 ◆見落としやすい飲料の糖質 普段何気なく飲んでいる飲料にも、糖質が含まれています。飲料の糖質も見落とさないようにしましょう。コーヒーや紅茶はなるべくブラックで飲むとよいです。 私はコーヒーが好きなので、自分で淹れるときは無調整豆乳を入れています。豆乳の糖質量は無調整豆乳<調整豆乳となります。豆乳は紅茶やルイボスティーにも意外と合うのでおすすめですよ。 ただ、牛乳の場合はメーカーにもよりますが、下のリストのように 糖質量は、牛乳<低脂肪牛乳となることもあります。ノンオイルドレッシングの糖質が高いのと同様に、脂質を抑えると糖質が高くなる場合がある ようです。 また、コンビニで見かける500mlの牛乳パックに入っているゼロカロリー飲料にはかなりの確率で糖質が含まれています。うっかりしがちですが、 ゼロカロリー=糖質ゼロではないのです。成分表示をよく見て糖質量をチェックするクセをつけましょう。 ◆飲み物の糖質量 ・ゼロカロリーコーラ(200ml) 0g ・お茶(150ml) 0.
2g ・カフェラテ砂糖なし(75ml) 4. 1g ・カフェラテ砂糖入り(75ml) 7. 1g ・オレンジジュース(200ml) 21. 0g ・野菜ジュース(200ml) 7. 2g ・無調整豆乳(200ml) 5. 8g ・調整豆乳(200ml) 9. 0g ・牛乳(200ml) 10. 1g ・低脂肪牛乳(200ml) 11. 6g ・コーラ(200ml) 22. 8g ◆以前と比較して糖質摂取量が減っていない これは私の例ですが、食事制限ダイエット経験者であれば意外にあるあるかもしれないと思ったので紹介します。 当初私はマイナス5キロを目指し、一日の糖質摂取目標を100gに設定していたのですが、よくよく計算してみたところ、もともとカロリー計算をしていたこともあり、糖質を1日に100g以下位しかとっていなかったのです。 そこで糖質制限ダイエットを開始したところで、今までと比べて糖質摂取量が減っていなければ当然効果はありませんよね。 ということで一日の糖質摂取目標を70~80gに設定し直して、調味料やおやつひと口おいった細かい糖質量にも気を配った結果、数か月で5キロ落ちたという訳です。多少面倒でもきちんと計算して自分に合った数値設定をすることもダイエット成功には重要なポイントです。 カロリーや脂質のとりすぎ? 糖質制限では、糖質だけに気を付ければ油やカロリーは気にしなくても大丈夫と言われていますが、 糖質だけをいくら抑えても、カロリーが一日の摂取量をオーバーしていては当然痩せませんし、逆に太ることだってありえます。 糖質が少ない食べ物の中には、カロリーや脂質が豊富なものもあります。オリーブオイルやバターといった油脂類をはじめ肉類、アボカドやチーズ、ナッツ類は糖質がほとんど含まれていません。 このため、糖質制限ダイエット中には取り入れたい食材と言われており、おやつにも適していますが、やはり食べ過ぎはカロリーオーバーになってしまうため注意しましょう。 肉を魚に、牛肉や豚肉を鶏肉に変えてみたり、ツナ缶は水煮タイプにする、カッテージチーズや無調整豆乳を使う、いつもより少しだけオイルを控えてみるなど、糖質制限食の範囲でも色々と工夫はできます。 糖質制限では摂取カロリーは減らさなくてよいとされていますので、糖質に注意するあまり、カロリー摂取量が増えていないか?という点がポイントになります。 余談ではありすが、脂肪1kgの燃焼に必要なカロリー数は7000kcalと言われていますので、一日の摂取カロリーを100Kcalづつ減らせば、2か月ちょっとで1キロ痩せられる計算になりますね。 中々効果が出ないという場合は、一日の摂取カロリー量を見直してみましょう。 すでに標準体重?