ポイントは、 (1)…$3$をかけ忘れない! (2)…$(x-2)=\{x+(-2)\}$ なので、符号に注意! 二項定理を超わかりやすく解説（公式・証明・係数・問題） | 理系ラボ. (3)…それぞれ何個かければ $11$ 乗になるか見極める! ですかね。 (3)の補足 (3)では、 $r$ 番目の項として、 \begin{align}{}_7{C}_{r}(x^2)^{7-r}x^r&={}_7{C}_{r}x^{14-2r}x^r\\&={}_7{C}_{r}x^{14-2r+r}\\&={}_7{C}_{r}x^{14-r}\end{align} と指数法則を用いてもOKです。 ここで、$$14-r=11$$を解くことで、$$r=3$$が導けるので、答えは ${}_7{C}_{3}$ となります。 今回は取り上げませんでしたが、たとえば「 $\displaystyle (x^2+\frac{1}{x})^6$ の定数項を求めよ」など、どう選べばいいかわかりづらい問題で、この考え方は活躍します。 それでは他の応用問題を見ていきましょう。 スポンサーリンク 二項定理の応用 二項定理を応用することで、さまざまな応用問題が解けるようになります。 特によく問われるのが、 二項係数の関係式 余りを求める問題 この2つなので、順に解説していきます。 二項係数の関係式 問題.
これで二項定理の便利さはわかってもらえたと思います 二項定理の公式が頭に入っていれば、 \((a+b)^{\mathrm{n}}\)の展開に 怖いものなし!
$21^{21}$ を$400$で割った余りを求めよ。 一見何にも関係なさそうな余りを求める問題ですが、なんと二項定理を用いることで簡単に解くことができます! 【解答】 $21=20+1, 400=20^2$であることを利用する。( ここがポイント!) よって、二項定理より、 \begin{align}21^{21}&=(1+20)^{21}\\&=1+{}_{21}{C}_{1}20+{}_{21}{C}_{2}20^2+…+{}_{21}{C}_{21}20^{21}\end{align} ※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。) ここで、 $20^2=400$ が含まれている項は400で割り切れるので、前半の $2$ 項のみに着目すると、 \begin{align}1+{}_{21}{C}_{1}20&=1+21×20\\&=421\\&=400+21\end{align} よって、余りは $21$。 この問題は合同式で解くのが一般的なのですが、そのときに用いる公式は二項定理で証明します。 合同式に関する記事 を載せておきますので、ぜひご参考ください。 多項定理 最後に、二項ではなく多項(3以上の項)になったらどうなるか、見ていきましょう。 例題. $(x+y+z)^6$ を展開したとき、 $x^2y^3z$ の項の係数を求めよ。 考え方は二項定理の時と全く同じですが、一つ増えたので計算量がちょっぴり多くなります。 ⅰ) 6個から2個「 $x$ 」を選ぶ組み合わせの総数は、 ${}_6{C}_{2}$ 通り ⅱ) のこり4個から1個「 $z$ 」を選ぶ組み合わせの総数は、 ${}_4{C}_{1}$ 通り 積の法則より、$${}_6{C}_{2}×{}_4{C}_{1}=60$$ 数が増えても、「 組み合わせの総数と等しくなる 」という考え方は変わりません! 二項定理の公式を超わかりやすく証明！係数を求める問題に挑戦だ！【応用問題も解説】 | 遊ぶ数学. ※ただし、たとえば「 $x$ 」を選んだとき、のこりの選ぶ候補の個数が「 $x$ 」分少なくなるので、そこだけ注意してください! では、こんな練習問題を解いてみましょう。 問題. $(x^2-3x+1)^{10}$ を展開したとき、 $x^5$ の係数を求めよ。 この問題はどこがむずかしくなっているでしょうか… 少し考えてみて下さい^^ では解答に移ります。 $p+q+r=10$である $0$ 以上の整数を用いて、$$(x^2)^p(-3x)^q×1^r$$と表したとき、 $x^5$ が現れるのは、$$\left\{\begin{array}{l}p=0, q=5, r=5\\p=1, q=3, r=6\\p=2, q=1, r=7\end{array}\right.
はじめの暗号のような式に比べて、少しは理解しやすくなったのではないかと思います。 では、二項定理の応用である多項定理に入る前に、パスカルの三角形について紹介しておきます。 パスカルの三角形 パスカルの三角形とは、図一のような数を並べたものです。 ちょうど三角形の辺の部分に1を書いて行き、その間の数を足していくことで、二項係数が現れるというものです。 <図:二項定理とパスカルの三角形> このパスカルの三角形自体は古くから知られていたようですが、論文としてまとめたのが、「人間とは考える葦である」の言葉や、数学・物理学・哲学など数々の業績で有名なパスカルだった為、その名が付いたと言われています。 多項定理とは 二項定理を応用したものとして、多項定理があります。 こちらも苦手な人が多いですが、考え方は二項定理と同じなので、ここまで読み進められたなら簡単に理解できるはずです。 多項定理の公式とその意味 大学入試に於いて多項定理は、主に多項式の◯乗を展開した式の各項の係数を求める際に利用します。 (公式)$$( a+b+c) ^{n}=\sum _{p+q+r=n}\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}$$ 今回はカッコの中は3項の式にしています。 この式を分解してみます。この公式の意味は、 \(( a+b+c)^{n}\)を展開した時、 $$一般項が、\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}となり$$ それらの項の総和(=全て展開して同類項をまとめた式)をΣで表せるということです。 いま一般項をよくみてみると、$$\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}$$ $$左の部分\frac {n! }{p! q! r! }$$ は同じものを含む順列の公式と同じなのが分かります。 同じものを含む順列の復習 例題:AAABBCCCCを並べる順列は何通りあるか。 答え:まず分子に9個を別々の文字として並べた順列を計算して(9! )、 分母に実際にはA3つとB2つ、C4つの各々は区別が付かないから、(3!2!4!) を置いて、9!/(3!2!4! )で割って計算するのでした。 解説:分子の9! 通りはA1, A2, A3, B1, B2, C1, C2, C3, C4 、のように 同じ文字をあえて区別したと仮定して 計算しています。 一方で、実際には添え字の1、2、3,,, は 存在しない ので(A1, A2, A3), (A2, A1, A3),,, といった同じ文字で重複して計算している分を割っています。 Aは実際には1(通り)の並べ方なのに対して、3!
いやいやいや…パンクしてこんなに転がらないでしょ…つうかめっちゃガラス割れるやんけ。ガラス…しゅごい……おっと、今屋根潰れた……えっ?は??今あり得ない所にフェンス見えたんですけどぉぉぉぉぉぉぉーーーこれってもしかして死ぬんじゃない?そうか、死ぬのか!!! とガラスの割れる音と車のボディが潰れる音をバックグラウンドにあれこれ考えてたんですけど突然思い出したんですよ。 娘!!!!! 娘置いて死ぬわけにはいかねえ!!! 俺は!生きる!!!!! 海賊王になる!!!!!!! まぁ海賊王になりたいとは思わなかったけど死ぬわけにはいかねえ!と思った瞬間ハンドルを強く握りしめました。 シートベルトでしっかりホールドされてる身体は大丈夫だ。足踏ん張って、手をハンドルから離さなければ固定される。どこもぶつけない。よし。これでいける。手離したら死ぬぞ!! と思い直し車止まるまで踏ん張った。 で、止まったわけですよ。やったね☆☆☆ やったね☆☆☆じゃねえよ! 車逆さじゃねえか!!!! ジェットコースターの逆さ吊りだよ!! いやもう、なんだこれ…どうすんだよ… とりあえず考えよう。脱出方法を考えよう。と何故かテレビドラマの脱出シーンを思い出す。普段FBIとかCIAが登場する海外ドラマ見てる俺をなめんなよ。華麗に脱出しちゃうぞっつって思い出したのが室井さん。 ………あのぉ、室井さん? 事件は現場で起きてるけど会議室で考えてもらえます? 助けて。 そうだ電話! 中学2年で引きこもった息子へ「9通の手紙」、母子の会話が復活した理由 | 「引きこもり」するオトナたち | ダイヤモンド・オンライン. !警察自ら呼んじゃうぞ♡つって身につけてたバッグからゴソゴソ携帯を取り出す。 横着してバッグ身につけといて良かった〜さすがワタシ!天才!と会社の ガラケー パカっと開いてよし!110! !と押そうとした瞬間手から滑り落ちる携帯。 まじすか…。 想像してみて。 緊急停止したジェットコースターの逆さ吊りから助けを呼ぼうと携帯取り出して、これで助かるぅ〜ヒャッホー♡と思った途端その希望と共に落下する携帯を見つめる絶望感。 もうだめだ、助け呼べねえ。 と逆さ吊りでうな垂れてたら来たよ!誰か来てくれたよ!大丈夫ですか?!! !と逆さになった車を恐る恐る覗き込む人影。 明らかに怖がってる。 え、なんで生きてんの?みたいな顔してる。 だろうね、私も思ったよ。 なんで生きてんの? 救出されるまでドアも開かず逆さ吊りのまま暇だったから助けに来てくれた方達に聞いてみた。 あの、これなにが起きたんですか?全く状況理解してないんですけど私の単独事故ですか?
まだ帰れないよね? そうだな、まだ暴れてるかもな ……… 今日はもう車の中で寝るか 家はあるのに家に帰れない生活。 アル中の叔父が暴れるたびに父と2人車に飛び乗り、近くの公園へ避難する。 当時はそんな生活だった。 もう遠い昔の事だから記憶も定かじゃないし、地獄のような生活を記憶から消し去りたい本能が働きうろ覚えだけど、昔を思い出す度に父と2人で見上げた夜空がよみがえる。 公園の静寂と、頭上に広がる満点の星空。 ただただ時間だけが流れ、他愛もない会話をする父と2人だけの時間。 しんどい時や行き詰まった時、1人で夜空を見上げ父と見上げた夜空を重ねる。 そうする事で不思議と安心した気持ちになるんだ。まだまだ大丈夫。頑張れると思える。 私が赤子の頃から結婚するまで、結婚してからも父は唯一の味方だった。 とにかく肯定してくれる。 私が無茶な事しても、無謀な事しても、とにかく肯定してくれる唯一の存在。 そんな味方してくれる父がいたからこそ私は自由に生きてこれたのかもしれない。 今遠く離れて暮らす父に言いたい言葉はなんだろう、とふと考えてみたけどこれしか思い付かない。 たくさんの愛をありがとう。 そして、心から愛してる。