4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 等差数列の一般項の未項. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
この記事では、等差数列の問題の解き方の基本をご説明します。数列は苦手な人が多いですが、公式をきちんと理解して、しっかり解けるように勉強しましょう。 等差数列の基本 まず等差数列とは何か?ということをきちんと理解しましょう。そうすれば基本の公式もしっかり覚えて応用することができます。 ◆等差数列とは?
一般項の求め方 例題を通して、一般項の求め方も学んでみましょう! 例題 第 \(15\) 項が \(33\)、第 \(45\) 項が \(153\) である等差数列の一般項を求めよ。 等差数列の一般項は、初項 \(a\) と公差 \(d\) さえわかれば求められます。 問題文に初項と公差が書かれていない場合は、 自分で \(a\), \(d\) という文字をおいて 計算していきましょう。 この数列の初項を \(a\)、公差を \(d\) とおくと、一般項 \(a_n\) は以下のように書ける。 \(a_n = a + (n − 1)d\) …(*) あとは、問題文にある項(第 \(15\) 項と第 \(45\) 項)を (*) の式で表して、連立方程式から \(a\) と \(d\) を求めます。 \(a_{15} = 33\)、\(a_{45} = 153\) であるから、(*) より \(\left\{\begin{array}{l}33 = a + 14d …①\\153 = a + 44d …②\end{array}\right. \) ② − ① より、 \(120 = 30d\) \(d = 4\) ① より \(\begin{align}a &= 33 − 14d\\&= 33 − 14 \cdot 4\\&= 33 − 56\\&= − 23\end{align}\) 最後に、\(a\) と \(d\) の値を (*) に代入すれば一般項の完成です!
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Mitsuru. I Ryo Takeuchi Kazuhito WATANABE Yujiro Shioyama いつも行列ができる店、宇都宮で餃子を存分に堪能するなら 『正嗣』 宇都宮の人気餃子専門店「正嗣 鶴田店」。常に行列ができている。メニューは焼餃子(¥210)、水餃子(¥210)、冷凍餃子(¥200)のみ。焼餃子は皮はパリッとしていて、具は野菜多めで食べ応えがある。水餃子はもちもち、プリプリで優しい味わい。 口コミ(88) このお店に行った人のオススメ度:87% 行った 157人 オススメ度 Excellent 100 Good 54 Average 3 今日は湯西川の帰り、宇都宮餃子をと思い寄り道に選んだのは「まさしの餃子」、人気店です。 でも、コロナ影響でお持ち帰りのみの営業。 一個が小さいので2〜3人前が1人前が一般的と案内があり4人前を注文。 注文と同時に鉄板に並べて焼き始めます。 相方にお願いし車で待っていると雨の中走ってきます。手には一箱の赤い箱。 さっき車の前を通ったおじさんは大きめの箱二つだったから12人前? 早速レンチンご飯と即席味噌汁で頂きま〜す。 餡がしっかりこねられ味付きのため醤油無しでも十分美味しく頂けます。 頂いた醤油には生姜入りでちょっぴりピリピリしてこれはこれで味変満足です。 いや〜ご飯一膳と餃子2人前でお腹ぱんぱん、相方もパクパク食べて大満足の様子。 超旨かったぁ。 宇都宮で1泊し、若干寝過ごしてしまったので、お昼は前々から行きたかった正嗣の餃子を頂きました。現在はコロナの影響で持ち帰りのみ。調理器具がないので焼き餃子を3人前購入し、近くの公園にて頂きました。 早く店内にて水餃子も食べてみたい… しまった!餃子のタレは付いているが、量が多いので入れ物が無い!かけたら、箱から染み出してきそうだ。偶然車の中にお菓子を食べた後の蓋が残っていたのでこちらで代用です。 焼面が非常に綺麗な狐色。肉と野菜のバランスが良くニンニクも適度に効いていて美味い餃子!宇都宮餃子でNo.