二項定理の多項式の係数を求めるには? 二項定理の問題でよく出てくるのが、係数を求める問題。 ですが、上で説明した二項定理の意味がわかっていれば、すぐに答えが出せるはずです。 【問題1】(x+y)⁵の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①x³y² ②x⁴y 【解答1】 ①5つの(x+y)のうち3つでxを選択するので、5C3=10 よって、10 ②5つの(x+y)のうち4つでxを選択するので、5C4=5 よって、5 【問題2】(a-2b)⁶の展開式における、次の項の係数を求めよ。 ①a⁴b² ②ab⁵ 【解答2】 この問題で気をつけなければならないのが、bの係数が「-2」であること。 の式に当てはめて考えてみましょう。 ①x=a, y=-2b、n=6を☆に代入して考えると、 a⁴b²の項は、 6C4a⁴(-2b)² =15×4a⁴b² =60a⁴b² よって、求める係数は60。 ここで気をつけなければならないのは、単純に6C4ではないということです。 もともとの文字に係数がついている場合、その文字をかけるたびに係数もかけられるので、最終的に求める係数は [組み合わせの数]×[もともとの文字についていた係数を求められた回数だけ乗したもの] となります。 今回の場合は、 組み合わせの数=6C4 もともとの文字についていた係数= -2 求められた回数=2 なので、求める係数は 6C4×(-2)²=60 なのです! ② ①と同様に考えて、 6C1×(-2)⁵ = -192 よって、求める係数は-192 二項定理の分母が文字の分数を含む多項式で、定数項を求めるには? さて、少し応用問題です。 以下の多項式の、定数項を求めてください。 少し複雑ですが、「xと1/xで定数を作るには、xを何回選べばいいか」と考えればわかりやすいのではないでしょうか。 以上より、xと1/xは同じ数だけ掛け合わせると、お互いに打ち消し合い定数が生まれます。 つまり、6つの(x-1/x)からxと1/xのどちらを掛けるか選ぶとき、お互いに打ち消し合うには xを3回 1/xを3回 掛ければいいのです! 6つの中から3つ選ぶ方法は 6C3 = 20通り あります。 つまり、 が20個あるということ。よって、定数項は1×20 = 20です。 二項定理の有名な公式を解説! ここでは、大学受験で使える二項定理の有名な公式を3つ説明します。 「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」 まずはこちらの公式。 文字のままだとわかりにくい方は、数字を入れてみてください。 6C4 = 6C2 5C3 = 5C2 8C7 = 8C1 などなど。イメージがつかめたでしょうか。 この公式は、「何かを選ぶということは、他を選ばなかったということ」を理解出来れば納得することができるでしょう。 「旅行に行く人を6人中から4人選ぶ」方法は「旅行に行かない2人を選ぶ」方法と同じだけあるし、 「5人中2人選んで委員にする」方法は「委員にならない3人を選ぶ」方法と同じだけありますよね。 つまり、 [n個の選択肢からk個を選ぶ] = [n個の選択肢からn-k個を選ぶ] よって、 なのです!
}{4! 2! 1! }=105 \) (イ)は\( \displaystyle \frac{7! }{2! 5! 0!
二項定理は非常に汎用性が高く,いろいろなところで登場します. ⇨予備知識 二項定理とは $(x+y)^2$ を展開すると,$(x+y)^{2}=x^2+2xy+y^2$ となります. また,$(x+y)^3$ を展開すると,$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ となります.このあたりは多くの人が公式として覚えているはずです.では,指数をさらに大きくして,$(x+y)^4, (x+y)^5,... $ の展開は一般にどうなるでしょうか. 一般の自然数 $n$ について,$(x+y)^n$ の展開の結果を表すのが 二項定理 です. 二項定理: $$\large (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{n-k}y^{k}$$ ここで,$n$ は自然数で,$x, y$ はどのような数でもよいです.定数でも変数でも構いません. たとえば,$n=4$ のときは, $$(x+y)^4= \sum_{k=0}^4 {}_4 \mathrm{C} _k x^{4-k}y^{k}={}_4 \mathrm{C} _0 x^4+{}_4 \mathrm{C} _1 x^3y+{}_4 \mathrm{C} _2 x^2y^2+{}_4 \mathrm{C} _3 xy^3+{}_4 \mathrm{C} _4 y^4$$ ここで,二項係数の公式 ${}_n \mathrm{C} _k=\frac{n! }{k! (n-k)! }$ を用いると, $$=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ と求められます. 注意 ・二項係数について,${}_n \mathrm{C} _k={}_n \mathrm{C} _{n-k}$ が成り立つので,$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C} _k\ x^{k}y^{n-k}$ と書いても同じことです.これはつまり,$x$ と $y$ について対称性があるということですが,左辺の $(x+y)^n$ は対称式なので,右辺も対称式になることは明らかです. ・和は $0$ から $n$ までとっていることに気をつけて下さい. ($1$ からではない!) したがって,右辺は $n+1$ 項の和という形になっています. 二項定理の証明 二項定理は数学的帰納法を用いて証明することができます.
関関同立大英語 設置校舎・時間割 8月9日(月)〜13日(金) 18:00〜19:30 津留天然 7月19日(月)〜23日(金) 18:00〜19:30 8月2日(月)〜6日(金) 18:00〜19:30 金澤孝樹 山崎繁 締切 8月9日(月)〜13日(金) 19:50〜21:20 山内康広 増設 8月16日(月)〜20日(金) 15:30〜17:00 7月26日(月)〜30日(金) 15:30〜17:00 江川高志 講座の料金 18, 400 円 (塾生料金 17, 900円) ※料金には、教材費などを含みます。 深夜2:45~朝7:30はご利用いただけません。 受講タームによって受付締切日が異なります。各受付締切日の最終受付時間は18:00までです。 スマートフォン・タブレットなどからインターネット申込をご利用になれない場合は、電話申込をご利用ください。 お客様IDの登録が必要です。 定員締切となった校舎・時間帯は選択できません。
こんにちは!武田塾守口校校舎長の末永です!
その速読英熟語の使い方に関しては、 産近甲龍・日東駒専レベルで紹介しているのでそちらから確認ください。 あとは、関関同立・MARCHレベルで和訳問題が出るような大学を受ける場合は、英文解釈の勉強を入門英文解釈の技術70で終わらせず、 「 基礎英文解釈の技術100 」までレベルアップさせることをオススメします。 「基礎英文解釈の技術100」 の使い方についてはコチラ! 「入門英文解釈の技術70」や「肘井学の読解のための英文法が面白いほどわかる本」というのは 読解に入る前の最低限の英文解釈という立ち位置といえますが、基礎英文解釈の技術100からは英語和訳問題で しっかりと点数を取りに行くための勉強として、英文解釈の力をさらにバージョンアップしていくために使ってほしいなというふうに思います。 あとは、英文法を夏であるとか秋のタイミングで終わらせるというのが理想と説明しましたが、 そこから長文とかの勉強をしていく中で文法をほったらかしにすると非常に怖いわけです。 というところでメンテナンスを兼ねて使って欲しい参考書問題集があります。 「 全解説実力判定英文法ファイナル問題集―文法・語法・イディオム・会話表現の総仕上げ (標準編) 」 「 英文法ファイナル問題集標準編 」 の使い方についてはコチラ!