この章の最初に言った通り、こんな求め方をするのにはちゃんと理由があります。でも最初からそれを理解するのは難しいので、今はとりあえず覚えるしかないのです….. 四次以降の行列式の計算方法 四次以降の行列式は、二次や三次行列式のような 公式的なものはありません 。あったとしても項数が24個になるので、中々覚えるのも大変です。 ではどうやって解くかというと、「 余因子展開 」という手法を使うのです。簡単に言うと、「四次行列式を三次行列の和に変換し、その三次行列式をサラスの方法で解く」といった感じです。 この余因子展開を使えば、五次行列式でも六次行列式でも求めることが出来ます。(めちゃくちゃ大変ですけどね) 余因子展開について詳しく知りたい方はこちらの「 余因子展開のやり方を分かりやすく解説! 」の記事をご覧ください。 まとめ 括弧が直線なら「行列式」、直線じゃないなら「行列」 行列式は行列の「性質」を表す 二次行列式、三次行列式には特殊な求め方がある 四次以降の行列式は「余因子展開」で解く
RR&=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&0&1/\sqrt 2\\1/\sqrt 6&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 6\\1/\sqrt 3&1/\sqrt 3&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1/2+1/2&-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&-1/\sqrt{6}+1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&1/6+4/6+1/6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}\\-1/\sqrt 6+1/\sqrt 6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}&1/\sqrt 3+1/\sqrt 3+1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} で、直交行列の条件 {}^t\! R=R^{-1} を満たしていることが分かる。 この を使って、 は R^{-1}AR=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{bmatrix} の形に直交化される。 実対称行列の対角化の応用 † 実数係数の2次形式を実対称行列で表す † 変数 x_1, x_2, \dots, x_n の2次形式とは、 \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j の形の、2次の同次多項式である。 例: x の2次形式の一般形: ax^2 x, y ax^2+by^2+cxy x, y, z ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx ここで一般に、 \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j= \begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\a_{b1}&\cdots&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}={}^t\!
線形代数I 培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。 実対称行列の対角化 † 実対称行列とは実行列(実数行列)かつ対称行列であること。 実行列: \bar A=A ⇔ 要素が実数 \big(\bar a_{ij}\big)=\big(a_{ij}\big) 対称行列: {}^t\! A=A ⇔ 対称 \big(a_{ji}\big)=\big(a_{ij}\big) 実対称行列の固有値は必ず実数 † 準備: 任意の複素ベクトル \bm z に対して、 {}^t\bar{\bm z}\bm z は実数であり、 {}^t\bar{\bm z}\bm z\ge 0 。等号は \bm z=\bm 0 の時のみ成り立つ。 \because \bm z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}, \bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1\\\bar z_2\\\vdots\\\bar z_n\end{bmatrix}, {}^t\! \bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1&\bar z_2&\cdots&\bar z_n\end{bmatrix} {}^t\! \bar{\bm z} \bm z&=\bar z_1 z_1 + \bar z_2 z_2 + \dots + \bar z_n z_n\\ &=|z_1|^2 + |z_2|^2 + \dots + |z_n|^2 \in \mathbb R\\ 右辺は明らかに非負で、ゼロになるのは の時のみである。 証明: 実対称行列に対して A\bm z=\lambda \bm z が成り立つ時、 \, {}^t\! (AB)=\, {}^t\! B\, {}^t\! A に注意しながら、 &\lambda\, {}^t\! \bar{\bm z} \bm z= {}^t\! \bar{\bm z} (\lambda\bm z)= {}^t\! \bar{\bm z} (A \bm z)= {}^t\! 行列 の 対 角 化传播. \bar{\bm z} A \bm z= {}^t\! \bar{\bm z}\, {}^t\! A \bm z= {}^t\! \bar{\bm z}\, {}^t\!
\bar A \bm z=\\ &{}^t\! (\bar A\bar{\bm z}) \bm z= \overline{{}^t\! (A{\bm z})} \bm z= \overline{{}^t\! (\lambda{\bm z})} \bm z= \overline{(\lambda{}^t\! \bm z)} \bm z= \bar\lambda\, {}^t\! \bar{\bm z} \bm z (\lambda-\bar\lambda)\, {}^t\! \bar{\bm z} \bm z=0 \bm z\ne \bm 0 の時、 {}^t\! 行列の対角化 ソフト. \bar{\bm z} \bm z\ne 0 より、 \lambda=\bar \lambda を得る。 複素内積、エルミート行列 † 実は、複素ベクトルを考える場合、内積の定義は (\bm x, \bm y)={}^t\bm x\bm y ではなく、 (\bm x, \bm y)={}^t\bar{\bm x}\bm y を用いる。 そうすることで、 (\bm z, \bm z)\ge 0 となるから、 \|\bm z\|=\sqrt{(\bm z, \bm z)} をノルムとして定義できる。 このとき、 (A\bm x, \bm y)=(\bm x, A\bm y) を満たすのは対称行列 ( A={}^tA) ではなく、 エルミート行列 A={}^t\! \bar A である。実対称行列は実エルミート行列でもある。 上記の証明を複素内積を使って書けば、 (A\bm x, \bm x)=(\bm x, A\bm x) と A\bm x=\lambda\bm x を仮定して、 (左辺)=\bar{\lambda}(\bm x, \bm x) (右辺)=\lambda(\bm x, \bm x) \therefore (\lambda-\bar{\lambda})(\bm x, \bm x)=0 (\bm x, \bm x)\ne 0 であれば \lambda=\bar\lambda となり、実対称行列に限らずエルミート行列はすべて固有値が実数となる。 実対称行列では固有ベクトルも実数ベクトルに取れる。 複素エルミート行列の場合、固有ベクトルは必ずしも実数ベクトルにはならない。 以下は実数の範囲のみを考える。 実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する † A\bm x=\lambda \bm x, A\bm y=\mu \bm y かつ \lambda\ne\mu \lambda(\bm x, \bm y)=(\lambda\bm x, \bm y)=(A\bm x, \bm y)=(\bm x, \, {}^t\!
このときN₀とN'₀が同じ位相を定めるためには, ・∀x∈X, ∀N∈N₀(x), ∃N'∈N'₀(x), N'⊂N ・∀x∈X, ∀N'∈N'₀(x), ∃N∈N₀(x), N⊂N' が共に成り立つことが必要十分. Prop3 体F上の二つの付値|●|₁, |●|₂に対して, 以下は同値: ・∀a∈F, |a|₁<1⇔|a|₂<1 ・∃α>0, ∀a∈F, |a|₁=|a|₂^α. これらの条件を満たすとき, |●|₁と|●|₂は同値であるという. 大学数学
対称行列であっても、任意の固有ベクトルを並べるだけで対角化は可能ですのでその点は誤解の無いようにして下さい。対称行列では固有ベクトルだけからなる正規直交系を作れるので、そのおかげで直交行列で対角化が可能、という話の流れになっています。 -- 武内(管理人)? 二次形式の符号について † 田村海人? ( 2017-12-19 (火) 14:58:14) 二次形式の符号を求める問題です。 x^2+ay^2+z^2+2xy+2ayz+2azx aは実定数です。 2重解の固有ベクトル † [[Gramm Smidt]] ( 2016-07-19 (火) 22:36:07) Gramm Smidt の固有ベクトルの求め方はいつ使えるのですか? 下でも書きましたが、直交行列(ユニタリ行列)による対角化を行いたい場合に用います。 -- 武内 (管理人)? sando? 行列の対角化ツール. ( 2016-07-19 (火) 22:34:16) 先生! 2重解の固有ベクトルが(-1, 1, 0)と(-1, 0, 1)でいいんじゃないです?なぜ(-1, 0. 1)and (0. -1, 1)ですか? はい、単に対角化するだけなら (-1, 0, 1) と (0, -1, 1) は一次独立なので、このままで問題ありません。ここでは「直交行列による対角化」を行いたかったため、これらを直交化して (-1, 0, 1) と (1, -2, 1) を得ています。直交行列(あるいはユニタリ行列)では各列ベクトルは正規直交系になっている必要があります。 -- 武内 (管理人)?
犬と暮らす 2021/01/24 UP DATE 愛犬がそばに寄ってきてくれるのは嬉しいけれど、自分にお尻をくっつけ、そっぽを向いて座られると、愛犬との距離を感じてしまうという人もいるでしょう。なぜ犬は、飼い主さんにお尻をつけて座るのでしょうか。そんな謎の行動をとる犬と仲良くなる方法を紹介します。 お尻をくっつけて、そっぽを向く犬の気持ち 人はお尻をキレイな部位と思っていないので、犬にお尻をくっつけられることを好まないかもしれませんが、犬は嫌がらせする意図でお尻をつけているわけではありません。 むしろ愛犬が、自分で守ることができない無防備な背中を見せながら座っているのだとすれば、 飼い主さんに信頼の気持ちを感じているでしょう。 しかも、お尻をくっつけることで、ちゃっかり飼い主さんの温もりを感じています。 ツンツンしたぶっきらぼうに見える態度の裏には、飼い主さんへの信頼がしっかりと隠れていたのです。 背を向ける犬ともっと仲良くなるには、どうしたらいい? 愛犬の信頼する気持ちに応えてあげると、犬も「飼い主さんが、自分の気持ちをわかってくれている」と感じることができ、より絆が深まっていくでしょう。 愛犬が無防備に背中を向けているのであれば、それを利用しない手はありません。例えばスキンシップが大好きな性格の犬なら、背中を優しく撫でてあげると、よりリラックスできるでしょう。 ついでに肩やしっぽの付け根付近など、犬が触られることを好むポイントも撫でて、愛犬をもっと喜ばせてあげましょう。 積極的なアピールばかりではない 絆を深めているのに、愛犬があまり「大好き」とアピールしてくれないと、ちょっと寂しい気持ちになりますよね。でも、犬に大きなアクションのアピールばかりを求めないように。 好きな気持ちのアピールとしては、少々物足りなく感じるかもしれませんが、飼い主さんにお尻をくっつけるのも立派なラブサイン。 その犬なりに飼い主さんへの愛情を表現しているのだから、「うちの犬はそっけない……」なんて思わないで、愛犬の気持ちをしっかりと受け止めてあげましょう。 犬も、飼い主さんに自分の気持ちが伝わっていることがわかれば、嬉しいはずですね。 理由がわかると、愛犬のお尻をくっつける行動が、ちょっと可愛く見えてくるかも。最初は「何でお尻をくっつけて座るの! ?」と思っていた人も、「もっと、お尻をつけて座ってほしい」という気持ちになれたのではないでしょうか。 参考/「いぬのきもち」2017年4月号『もっと仲よくなれる"お返事のしかた"つき 愛犬の大好きサイン&ツンデレサイン』(監修:東京農業大学農学部バイオセラピー学科教授 獣医師 獣医学博士 増田宏司先生) 文/こさきはな ※写真はスマホアプリ「いぬ・ねこのきもち」で投稿されたものです。 ※記事と写真に関連性はありませんので予めご了承ください。 CATEGORY 犬と暮らす 2021/01/24 UP DATE
お尻や背中をくっつけてくる犬は、その人を信頼している証であると話をしました。では、お尻や背中を触ろうとすると、唸ったり、スッと別の場所に移動してしまうなど、明らかに嫌がるような仕草や行動を見せる場合は、どのような意味があるのでしょうか。 その時の気分やタイミング(食事中など)によって意味は異なりますが、特段問題視するタイミングでない場合は、飼い主のことを信頼しきっていない可能性があります。 「なんだか怖いな」「嫌だな」と感じているからこそ、自分の弱点を触ってほしくないのでしょう。そのため、本能的に攻撃されないよう、距離をとったり、威嚇をしてしまうことがあります。 犬にもそれぞれ性格があるため、信頼関係を築くのに長い時間がかかる場合もあります。反対に、始めから人懐っこく、誰にでも安心しきってしまう犬もいます。 その犬の個性に合わせて、少しずつ、丁寧に信頼関係を築いていくことで、いずれ素敵なパートナー関係を築くことができるはずですよ!日々のスキンシップやコミュニケーションを大事にし、焦らず進めていきましょう。 まとめ いかがでしたでしょうか。犬が背中やお尻をくっつけてくるのは、その人を信頼しているからです。そう考えると、より愛おしく感じますよね。ぜひ愛犬がお尻や背中をくっつけてきた際には、優しく撫でたり声をかけたりしてあげてくださいね!
犬は瞬時に人間の感情をよみとる生きものです。そして、その人間に対して、いろいろなしぐさや態度で、犬自身の感情を示してくれています。犬に好意を持たれる人になるためには、その犬がどう感情表現をしているのかを知ることがポイントです。今回は、犬たちが好意をよせる人に、どのようなしぐさ・態度をとるのかを紹介します。 (執筆:プロドッグトレーナー・大久保羽純) ペットの治療費 こんなに高額に!? 今は健康なペット(わんちゃん・猫ちゃん)でも病気やケガは突然訪れるかもしれません。特に近年では動物医療の進化に伴い、治療費が思った以上に高額になるケースも。大切な家族のために、あなたも最適な選択ができるようにしてみませんか? 1.リラックスして自分から体を寄せてきたり、近くでマッタリする Soloviova Liudmyla/shutterstock 犬があなたに近づいてきて、体の一部を寄せてきたり、そばでゆったり寝そべったりすることはありませんか?体が緊張して固くなっているのではなく、柔らかく弛緩していたら、その相手に安心して、好意を持っています。 体が固くなって緊張しているときは、興奮していたり、警戒していたりします。しかし、体が緩んでいるときは、この人は安心で安全だと犬が感じている時です。そのため、くにゃくにゃに、ゆるんでいる犬の様子が見られたら、「私と一緒にいて、安心だと感じてくれているのね」と思ってOK。 尻尾を振っているのは嬉しいわけではない!?
"動き"でわかる犬の気持ち』(監修:犬のしつけ教室DOGLY代表 日本動物病院協会認定家庭犬インストラクター 荒井隆嘉先生) 文/kagio ※写真はスマホアプリ「いぬ・ねこのきもち」で投稿されたものです。 ※記事と写真に関連性はありませんので予めご了承ください。 CATEGORY 犬と暮らす 2020/10/12 UP DATE
最終更新日:2020. 11. 7 24, 262views 犬が床やカーペットなどにお尻をこすりつけながら歩く ような動作を見たことはないでしょうか? これは、「 お尻歩き 」と呼ばれている動作です。単にお尻に「うんち」などが付いているのが気持ち悪くて、していることが多いのですが、お尻に違和感がある時に犬がとる行動の1つです。 おしり歩きを放っておくと、大変なことになることも! 今回は、その 原因と対策 について見ていきましょう。 原因って? 特に、ワンちゃんが「うんち」をした後、 カーペットやじゅうたんの上でお尻をこすりつけている ところを見たことはないでしょうか?これをおしり歩きといいます。 その理由は単純で、 お尻(肛門)に違和感を感じている から。人間もお尻に違和感があれば、拭いてみたり、かいてみたりしますよね。あれと同じなんです。 お尻に違和感を感じる原因として、以下が考えられます。 「うんち」か何かがついている 寄生虫がいる 肛門嚢が炎症を起こしている 「うんち」が付いている 散歩の時は、注意深く見ていれば、 お尻に「うんち」が付いていたり します。そのような時は、 地面にお尻をこすりつけて歩くことがあります 。 ただ、ばい菌が付いてしまう可能性があるので、そとでおしり歩きをしているときは、 お尻の周りをティッシュで拭いてあげましょう 。ワンちゃんもスッキリしたような顔をします。 このように単に何かが付いているのが嫌で「お尻歩き」をして、それを取り除こうとすることがほとんどですが、中には病気の可能性もあります。 寄生虫がいる!? おしり歩きだけでなく以下の症状が見られる場合は、寄生虫がいる事が考えられます。 肛門から白いヒモのような物が… うんちに白いヒモのようなものが混ざっている 最近、下痢が多くなった 最近、食欲が落ちている お尻歩きをしている時に、 肛門のあたりを観察してみて、何か出ているようなことがあれば、寄生虫がいる可能性が非常に高い です。このような症状が見られた時は、 かかりつけの獣医師に診察してもらいましょう 。 肛門嚢が炎症?
愛犬と一緒に暮らしていると、「どうして犬は、私(飼い主)にお尻をくっ付けてくるのかな?」「なぜお尻を向けてくるのかな?」と不思議に思うことはありませんか? チュチュっとキスならいくらでもいいのに、よりによってお尻を向けてくるだなんて。 そんなところを周りから見られるのは、何となく恥ずかしい。 かわいい愛犬とは言え、ちょっといやかもw。 人間の感覚では、そう思ってしまうかもしれません。しかし、犬が飼い主にお尻を向ける、お尻をくっ付けてくる行為は、飼い主を困らせたいからではなく、別の理由があるのです。犬のそうした理由と気持ちについて詳しく解説します。 愛犬がお尻を向ける習性と気持ち 愛犬が飼い主に対して、お尻を向ける、お尻をくっ付けてくるのは、これ以上ない「信頼の証し」なのです。でも、どうしてお尻を向けることが犬たちにとって信頼の証しなのでしょうか。 それを知るには、まず犬の習性と気持ちを理解することから始めましょう。 犬の習性 犬の目は、やや外向きに付いており、その視野は250から270度と広範囲ですが、両目で同時に見える範囲は、人間の120度に対し、80度ほどです。また、犬の視力は、0. 2から0.
「たからもの」ってどんなもの? カラスのカーコは、「たからもの」をたくさん見つけることができます。エメラルドグリーン色のびーびーだん、とうめいのかみ、なないろのひも‥‥‥。一方、ねこのつっきーは「たからもの」が分からず、会う人会う人にその人の「たからもの」についてたずねていきます。さて、つっきーは自分の「たからもの」を見つけることができるのでしょうか。 【本選びのためのキーワード】 たからもの、大切なもの、友だち、温かい気持ち、発見、ユーモア 『つっきーとカーコのたからもの』(2020年11月刊行) みどころ たからものって、いったいなんだろう? ねこのつっきーとからすのカーコは、赤ちゃんの頃からとっても仲良し。 「イエーイ」 会ったら、お互いの足のうらをくっつけるのが、ふたりのいつものあいさつ。 (表紙でもしっかり「イエーイ」とあいさつしてますね) さて、スキップしながらやってきたカーコ。なんだか嬉しそうです。なんでスキップしてたのか、つっきーがたずねると、「これよ、これ!」と差し出したのは、小さなつぶつぶ。びーびーだんのようです。でも、ただのびーびーだんなのではなくて、エメラルドグリーン色のところがカーコのお気に入りなのだそう。けれども、つっきーが「かーしーてー」と無理やりカーコの手を開こうとしたから大変! びーびーだんは、にぎりこぶしのすき間からこぼれおちて、草原の中に転がっていってしまいます。 (続きを読む >>> ) 合わせておすすめ♪ 『やっぱりオカピ』 「よつば月の よるには、どうぶつたちの ねがいが なんでも かなうんだよ。」 「よつば月」が出た夜、オカピは動物園を散歩して、さまざまな動物たちと出会います。そこで動物たちそれぞれのねがいごとを聞いていくのですが、さてどんなねがいごとだったのでしょう? 動物たちと触れ合ったことで変わっていくオカピの気持ちの変化にも注目してみて下さいね。 【本選びのためのキーワード】 動物園、動物たち、ねがいごと、不思議、ファンタジー 『やっぱりオカピ』(2021年5月刊行) みどころ オカピってどんな動物? シカやウマに似ているけれど、しましまがあり、でも足とおしりだけなのでシマウマではありません。耳や顔の感じはロバにも似ています。よく見ると、ちょっとだけ角もある、そんな不思議な動物です。 ある夜のこと、空にはよっつにわれたような月が浮かんでいました。 よつばのクローバーの葉っぱの一まいだけに似ているような月です。 すると、飼育員さんがこんなことを教えてくれます。 「よつば月だ。」 「よつば月の よるには、どうぶつたちの ねがいが なんでも かなうんだよ。」 (続きを読む >>> ) 小学2年生の夏の読書と読書感想文におすすめの本 『おひめさまになったワニ』 コーラひめは、王国のひとり娘。ひめの将来を心配する王とおきさきのもと、朝から晩までやることだらけで、自由がない。おとなたちを悲しませたくなくて、なにも言えないけど、もう、うんざり!