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2 距離の定義 さて、ユークリッド距離もマンハッタン距離も数学では「距離」として扱えますが、他にどのようなものが距離として扱えるかといいますと、図2-2の条件を満たすものはすべて数学で「距離」といいます。 集合 の つの元を実数 に対応付ける写像「 」が以下を満たすとき、 を距離という。 の任意の元 に対し、 。 となるのは のとき、またそのときに限る。 図2-2: 距離の定義 つまり、ユークリッド距離やマンハッタン距離はこの「距離の定義」を満たしているため、数学で「距離」として扱えるわけです。 2. 3 距離空間 このように数学では様々な距離を考えることができるため、 などの集合に対して、どのような距離を使うのかが重要になってきます。 そこで、集合と距離とをセットにし、「(集合, 距離)」と表されるようになりました。 これを「 距離空間 きょりくうかん 」といいます。 「 空間 くうかん 」とは、集合と何かしらのルール (距離など) をセットにしたものです。 例えば、ユークリッド距離「 」に対して、 はそれぞれ距離空間です。 特にこれらの距離空間には名前が付けられており、それぞれ「1次元ユークリッド空間」、「2次元ユークリッド空間」、「3次元ユークリッド空間」、…、「n次元ユークリッド空間」と呼ばれます。 ユークリッド距離はよく使われるため、単に の集合が示されて距離が示されていないときには、暗黙的にn次元ユークリッド空間だとされることが多いです。 3 点列の極限 3.
内積を使って点と平面の距離を求めます。
平面上の任意の点Pと平面の法線ベクトルをNとすると...
PAベクトルとNの内積が、点と平面の距離 です。(ただし絶対値を使ってください) 点と平面の距離 = | PA ・ N |
平面方程式(ax+by+cz+d=0)を使う場合は..
法線N = (a, b, c)
平面上の点P = (a*d, b*d, c*d)
と置き換えると同様に計算できます。
点+法線バージョンと、平面方程式バージョンがあります。平面の定義によって使い分けてください。
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