子どもの勉強から大人の学び直しまで ハイクオリティーな授業が見放題 この動画の要点まとめ ポイント 相加・相乗平均の大小関係の活用 これでわかる! ポイントの解説授業 相加平均 相乗平均 相加平均≧相乗平均 POINT 浅見 尚 先生 センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。 相加・相乗平均の大小関係の活用 友達にシェアしよう!
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX｜東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾. (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
問題での相加相乗平均の使い方 公式が証明できたところで、公式を使って問題を解いてみましょう。 等号が成立する条件をきちんと示そう まずはこの問題を解いてみてください。 【問題1】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】 問題を眺めていて、相加相乗平均が使えそうだな…と思う箇所はありませんか? そう、 ここです! 相加相乗平均の不等式により、 と答えようとしたあなた、それを答案に書くと、大幅に減点されるでしょう。 x+1/x≧2 という式は、単に「2以上になる」と言っているだけで、「2が最小値である」とは一言も言っていません。つまり、最小値が3である可能性もあるわけです。 ですから、x+1/x=2、つまり等号成立条件を満たすxが存在することを証明しないと、(x+1/x)の最小値が2だから(x+1/x)+2の最小値が4〜なんてことは言えないのです。 における等号成立条件は、a=bでした。 つまり今回の等号成立条件は、 x=1/x ⇔x²=1かつx>0 ⇔x=1 となり、x+1/x=2を満たすxが存在することを示すことができました。 これを書いて初めて、最小値の話を持ち出すことができます。 この等号成立条件は書き忘れて大減点をくらいやすいところですので、くれぐれも注意してください。 【問題2】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説2】x>0より、相加相乗平均の不等式を用いて、 等号成立条件は、 2/x=8x ⇔x²=¼ ⇔x=½ (∵x>0) よって、求める最小値は8である。 打ち消せるかたまりを探す! 相加平均 相乗平均 使い方. 【問題3】x>0, y>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説3】 どこに相加相乗平均の不等式を使うかわかりますか? このままでは何をしても文字は打ち消されません。展開してみましょう。 x>0, y>0より、相加相乗平均の不等式を用いると、 等号成立条件は、 6xy=1/xy ⇔(xy)²=⅙ ⇔xy=1/√6(∵x>0かつy>0) よって、6xy+1/xyの最小値は2√6であるので、 (2x+1/y)(1/x+3y)=5+6xy+1/xyの最小値は、 2√6+5 打ち消せるかたまりがなかったら作る! 【問題4】x>-3のとき、 の最小値を求めよ。 【解説4】 これは一見、打ち消せる文字がありません。 しかし、もしもないのであれば、作ってしまえばいいのです!
!」 と覚えておきましょう。 さて、 が成立するのはどんなときでしょうか。 より、 √a-√b=0 ⇔√a=√b ⇔a=b(∵a≧0, b≧0) のときに、 となることがわかります。 この等号成立条件は、実際に問題で相加相乗平均を使うときに必須ですので、おまけだと思わずしっかり理解してください! 実は図形を使っても相加相乗平均は証明できる!? さて、数式を使って相加相乗平均の不等式を証明してきましたが、実は図形を使うことで証明することもできます。 上の図をみてください。 円の中心をO、直径と円周が交わる点をA、Bとおき、 直線ABと垂直に交わり、点Oを通る直線と、円周の交点をCとおきます。 また、円周上の好きなところにPをおき、Pから直線ABに引いた垂線の足をHとおきます。 そして、 AH=a BH=b とおきます。 ただし、a≧0かつb≧0です。辺の長さが負の数になることはありえませんから、当たり前ですね。 このとき、Pを円周上のどこにおこうと、 OC≧PH になることは明らかです。 [直径]=[AH+BH]=a+b より、 OC=[半径]=(a+b)/2 ですね。 ということは、PH=√ab が示せれば、相加相乗平均の不等式が証明できると思いませんか? (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. やってみましょう。 PH=xとおきます。 三平方の定理より、 BP²=x²+b² AP²=a²+x² ですね。 また、線分ABは円の直径であり、Pは円周上の点であるので、 ∠APBは直角です。 そこで三角形APBに三平方の定理を用いると、 AB²=AP²+BP² ⇔(a+b)²=2x²+b²+a² ⇔2x²=a²+2ab+b²-(a²+b²) ⇔2x²=2ab ⇔x²=ab ⇔x=√ab(a≧0, b≧0) よって、PH=√abを示すことができ、 ゆえに、 を示すことができました! 等号成立条件は、OC=PH、つまり Hが線分ABの中点Oと重なるときですから、 a=b です!
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. 相加平均 相乗平均 証明. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
自分が知り得る限りでは..... ①北陸は富山までが〈薄味圏〉で、新潟に入ると〈濃い口圏〉になる。 ②名古屋のきしめんは〈濃い口〉で有名ですが「岐阜県」はどっちですか? ③信州松本や長野も関東味の濃い口圏となる。 紀伊半島/山陽/山陰/四国/九州.... オウム 真理 教 ラーメンドロ. についての事情をご教示ください。 沖縄のソーキソバは醤油に寄らぬ塩味風だったと記憶してますが!? ※ID非公開の段、ご容赦ください。 おみやげ、ご当地名物 王将に行ったら、餃子以外で何を注文しますか?おすすめのメニューはありますか? 店舗によってメニューや味が違うのは何故ですか?どこの店舗に行っても間違いないメニューはありますか? 飲食店 回転寿司に詳しい方、または中の人お願いします。今日スシローに行きまして、入店の受付をして(50番台)からトータル40分待ちました。 受付した時点では空いていましたし、アプリやネットで予約した方が優先なのはわかるのですが、60番台70番台1000番台?が次々呼ばれるなか、さすがに長いなと思い受付番号を見せて「あとどれぐらいで入れますか?」と店員さんに訪ねたところ、タッチパネルを操作してすぐにテーブルに案内されました。え?と拍子抜けしました。私は怒ったり威圧的な態度は全くとっていません。次回に活かしたく、優先順位についてどなたか教えていただけないでしょうか?ちなみにカウンターとテーブルどちらでもよいを選択しました。 飲食店 白木屋グループのお通しってひどくないですか。 このあいだ行ったら、小鉢に筑前煮がひと口サイズでしたよ。 一方、目利きの銀次はマグロの竜田揚げ、皿いっぱいでした(しかも美味しい)。 飲食店 中華料理についてなんですけど、地元の中華料理店に行ったら「ザッパーカイ」って言うメニューがあったんです。 鳥の唐揚げをスパイシーなピリ辛醤油でからめ、サラダの上に盛りつけた料理と説明がありました。 ネットで調べてみたんですけどなんにも出てこないので気になってます。 誰か知ってる人居ますか? 料理、食材 もっと見る
と1人でイライラしていました。(食べ放題ってこんなもんですかね) 回転寿司だけでなく焼肉屋の肉や、冷凍食品の唐揚げなどが本当に無理です。 友達が美味しい〜って言っているものにも共感できないし、友達を馬鹿舌だとついつい心の中で馬鹿にしてしまうことがとても辛いです。 食べないとノリが悪いと思われるかもしれないしどうしたらいいのか分かりません。 自分の友達がこんなだったらどう思いますか? 飲食店 コロナで損害受けている飲食業界の人は金策をどうしていますか? 国、自治体の補助、支援金では、不足すると思うのですが。 教えて欲しいです。 ラ-メン店していますが、苦しいですね。 政治、社会問題 握り寿司のネタ、何が好きですか? ○複数可(画像はイメージ) 料理、食材 めざましテレビの「スゴ撮」は人気回転寿司みたいですがどんな内容でしたか? 情報番組、ワイドショー 今日立川駅付近で居酒屋に行きました。 私はオープンキャンパスがあったので一泊二日で、父が単身赴任で立川に住んでいるため東京に来て泊まりもするという感じです。 夜ご飯を探していたところ看板に載っていた写真がとても美味しそうだったので入店しましたが、東京で緊急事態宣言が出ているのにも関わらず、検温なし、アルコール消毒の声がけがなく、店員さんはマスクを着用していませんでした。 さらにご飯を頼むとサラダはすぐ来たものの、メインの肉と刺身は45分後に来ました。 さらに、隣にいた夫婦の飲み物の中に虫が入っていたらしく、わたしは父とやばいねと話していたところ、その夫婦から声をかけられ、「この店わたしも初めて来たけどやばい。」と話しました。飲み物に入ってるのもやばいですが壁にはゴキブリ、床にもゴキブリ。衛生面の悪さに驚きました。 わたしはいま仙台に住んでおり、こんな経験がなかったため驚きが隠せません。こんな衛生面がしっかりなってなかったり、店員の態度の悪さにも驚きました。食品衛生管理者のようなものがいるのかも不安になりました。 わたしは来店は東京の大学に進学する予定です。立川に住むわけではないですが、東京の飲食店はこんなにも最悪なんでしょうか? 飲食店 店員さんにいつものですかと聞かれた場合は脈アリですか? オウムが運営していた「オウムのお弁当屋さん」やラーメン屋「うまか... - Yahoo!知恵袋. 飲食店 店員さんにいつものですかと聞かれた場合は嫌われてますか? 注文する時間がめんどくさいみたいな…。 飲食店 喫茶店にタロットカードの占い師さんが、定期的にお越しになったら、店の雰囲気は良くなりますか?
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