5. 1 [ 編集] が奇素数のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で と互いに素なものは と一意的にあらわせる。 の場合はどうか。 であるから、 の位数は である。 であり、 を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものの個数は 個である。したがって、次の事実がわかる: のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものは と一意的にあらわせる。 に対し は 8 を法として 7 と合同な剰余類を一意的に表している。同様に に対し は 8 を法として 5 と合同な剰余類を一意的に表している。よって2の冪を法とする剰余類について次のことがわかる。 定理 2. 2 [ 編集] のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類は と一意的にあらわせる。 以上のことから、次の定理が従う。 定理 2. 3 [ 編集] 素数冪 に対し を ( または のとき) ( のとき) により定めると で割り切れない整数 に対し が成り立つ。そして の位数は の約数である。さらに 位数が に一致する が存在する。 一般の場合 [ 編集] 定理 2. 制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理 - Wikibooks. 3 と 中国の剰余定理 から、一般の整数 を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 定理 2. 4 [ 編集] と素因数分解する。 を の最小公倍数とすると と互いに素整数 に対し ここで定義した関数 をカーマイケル関数という(なお と定める)。定義から は の約数であるが、 ( は奇素数)の場合を除いて は よりも小さい。
1 (viii) より である限り となる が存在し、しかもそのような の属する剰余類はただ1つに定まることがわかる。特に となる の属する剰余類は乗法に関する の逆元である。これを であらわすことがある。このとき である。 また特に、法が素数のとき、0以外の剰余類はすべて逆元をもつので、この剰余系は(有限)体をなす。
いままでの議論から分かるように,線形定常な連立微分方程式の解法においては, の原像を求めることがすべてである. そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理 である.よく知られているように, の行列式を の固有多項式あるいは特性多項式という. が 次の行列ならば,それも の 次の多項式となる.いまそれを, とおくことにしよう.このとき, が成立する.これが Cayley-Hamilton の定理 である. 定理 5. 1 (Cayley-Hamilton) 行列 の固有多項式を とすると, が成立する. 証明 の余因子行列を とすると, と書ける. の要素は高々 次の の多項式であるので, と表すことができる.これと 式 (5. 16) とから, とおいて [1] ,左右の のべきの係数を等置すると, を得る [2] .これらの式から を消去すれば, が得られる. 式 (5. 19) から を消去する方法は, 上から順に を掛けて,それらをすべて加えればよい [3] . ^ 式 (5. 16) の両辺に を左から掛ける. 実際に展開すると、 の係数を比較して, したがって の項を移項して もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し, の順に逐次消去してもよい. この方法をまとめておこう. と逐次多項式 を定義すれば, と書くことができる [1] . ただし, である.この結果より 式 (5. 18) は, となり,したがってまた, を得る [2] . 式 (5. 19) の を ,したがって, を , を を置き換える. を で表現することから, を の関数とし, に を代入する見通しである. 初等整数論/合同式 - Wikibooks. 式 (5. 21) の両辺を でわると, すなわち 注意 式 (5. 19) は受験数学でなじみ深い 組立除法 , にほかならない. は余りである. 式 (5. 18) を見ると が で割り切れることを示している.よって剰余の定理より, を得る.つまり, Cayley-Hamilton の定理 は 剰余の定理 や 因数定理 と同じものである.それでは 式 (5. 18) の を とおいていきなり としてよいかという疑問が起きる.結論をいえばそれでよいのである.ただ注意しなければならないのは, 式 (5. 18) の等式は と と交換できることが前提になって成立している.
4 [ 編集] と素因数分解する。 を法とする既約剰余類の個数は である。 ここで現れた を の オイラー関数 (Euler's totient) という。これは 円分多項式 の次数として現れたものである。 フェルマー・オイラーの定理 [ 編集] 中国の剰余定理から、フェルマーの小定理は次のように一般化される。 定理 2. 5 [ 編集] を と互いに素な整数とすると が成り立つ。 と互いに素な数で 1 から までのもの をとる。 中国の剰余定理から である。 はすべて と互いに素である。さらに、これらを で割ったとき余りはすべて異なっている。 よって、これらは と互いに素な数で 1 から までのものをちょうど1回ずつとる。 したがって、 である。積 も と互いに素であるから 素数を法とする場合と同様 を と互いに素な数とし、 となる最小の正の整数 を を法とする の位数と呼ぶ。 位数の法則 から が成り立つ。これと、フェルマー・オイラーの定理から位数は の約数であることがわかる(この は、多くの場合、より小さな値をとる関数で置き換えられることを 合成数を法とする剰余類の構造 で見る)。
平方剰余 [ 編集] を奇素数、 を で割り切れない数、 としたときに解を持つ、持たないにしたがって を の 平方剰余 、 平方非剰余 という。 のとき が平方剰余、非剰余にしたがって とする。また、便宜上 とする。これを ルジャンドル記号 と呼ぶ。 したがって は の属する剰余類にのみ依存する。そして ならば の形の平方数は存在しない。 例 である。 補題 1 を の原始根とする。 定理 2. 3. 4 から が解を持つのと が で割り切れるというのは同値である。したがって 定理 2. 10 [ 編集] ならば 証明 合同の推移性、または補題 1 によって明白。 定理 2. 11 [ 編集] 補題 1 より 定理 2. 4 より 、これは に等しい。ここで再び補題 1 より、これは に等しい。 定理 2. 12 (オイラーの規準) [ 編集] 証明 1 定理 2. 4 から が解を持つ、つまり のとき、 ここで、 より、 したがって 逆に 、つまり が解を持たないとき、再び定理 2. 4 から このとき フェルマーの小定理 より よって 以上より定理は証明される。 証明 2 定理 1.
1. 1 [ 編集] (i) (反射律) (ii) (対称律) (iii)(推移律) (iv) (v) (vi) (vii) を整数係数多項式とすれば、 (viii) ならば任意の整数 に対し、 となる が存在し を法としてただ1つに定まる(つまり を で割った余りが1つに定まる)。 証明 (i) は全ての整数で割り切れる。したがって、 (ii) なので、 したがって定義より (iii) (ii) より より、定理 1. 1 から 定理 1. 1 より マイナスの方については、 を利用すれば良い。 問 マイナスの方を証明せよ。 ここで、 であることから、 とおく。すると、 ここで、 なので 定理 1. 6 より (vii) をまずは証明する。これは、 と を因数に持つことから自明である((v) を使い、帰納的に証明することもできる)。 さて、多変数の整数係数多項式とは、すなわち、 の総和である。先ほど証明したことから、 したがって、(v) を繰り返し使えば、一つの項についてこれは正しい。また、これらの項の総和が なのだから、(iv) を繰り返し使ってこれが証明される。 (viii) 定理 1. 8 から、このような が存在し、 を法として1つに定まることがすぐに従う(なお (vi) からも ならば であるから を法として1つに定まることがわかる)。 先ほどの問題 [ 編集] これを合同式を用いて解いてみよう。 であるから、定理 2.
にある行列を代入したとき,その行列と が交換可能のときのみ,左右の式が等しくなる. 式 (5. 20) から明らかなように, と とは交換可能である [1] .それゆえ 式 (5. 18) に を代入して,この定理を証明してもよい.しかし,この証明法に従うときには, と の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない. で であるから と は可換, より,同様の理由で と は可換. 以下必要なだけ帰納的に続ければ と は可換であることがわかる. 例115 式 (5. 20) を用いずに, と が交換可能であることを示せ. 解答例 の逆行列が存在するならば, より, 式 (5. 16) , を代入して両辺に を掛ければ, , を代入して、両辺にあらわれる同じ のべき乗の係数を等置すると, すなわち, と は可換である.
我が家は、6学年差の中に4人の子供がいます 仕事に家事に、一息つく暇がない事もしばしば ランチの予定も、2ヶ月先まで無理だったり "は〜辛いくらいに 忙しいなぁ "と思った時に、 『忙しい事は、いいことですね 』と言われると、 何故か心が軽くなる 私がいます 忙し自慢して と言われるわけでなく、 忙しい事は いいこと。 そっと、日頃の頑張りを 認めてもらえてる気がする 言葉です 最近、男子を感じさせてくれる長男と次男 小1長男 からの手紙には泣かされ、 年中次男は、保育園のお買い物ごっこで 私にお花 を買ってきてくれたり 幸せ満開でござります
「ありがとう」は Thank you と英語で表現できます。 「とても忙しい」は so busy でOK。 「私を痛めつけに来なさい」は英語で come to hurt me でOK。 「彼女は、一人で自転車を組み立てるのに忙しい」 She is busy assembling the bike by himself. 「彼女は忙しい」は She is busy と英語で表現できます。 「自転車を組み立てるのに」は asembling the bike でOK。 「一人で」は英語で by himself となります。 「みなさん、私はまさに忙しくなっている」 All of you, I've just been busy. 好印象！男性が職場で「なんかいいな」と感じる女性の行動3つ - ローリエプレス. 「みなさん」は All of you と英語で表現できます。 この例文は I have just been busy と現在完了形です。 「素早い足と忙しい手が、口を満たす」 Quick feet and busy hands fill the mouth. 「素早い足」は Quick feet と英語で表現できます。 「忙しい手」は busy hands でOK。 「口を満たす」は英語で fill the mouth となります。 「あなたは今日の午後は忙しいですか?」 Are you busy this afternoon? 「あなたは忙しいですか?」は Are you busy と英語で表現できます。 「今日の午後」は this afternoon でOK。 this は英語で「今の、この」という意味があります。 「残念に思いますが、私は今夜は忙しい」 I'm afraid I'm busy tonight. 「残念に思うに」は I'm afraid と英語で表現できます。 「私は今夜は忙しい」は I'm busy tonight でOK。 afraid は英語で「残念に思う、心配ながら」という意味。 「幸せになるための最も確実な方法は、忙しくなることでした」 The surest way to be happy was to be busy. 「最も確実な方法は」は The surest way と英語で表現できます。 「幸せになるための」は to be happy でOK。 「忙しくなることでした」は英語で was to be busy になります。 「私は、今後数日間は忙しいスケジュールになります」 I have a hectic schedule for the next few days.
「付き合う以前や、エッチする前はなぜか忙しいとは言わなかったとは思いませんか?
「~で忙しい」は日記でもメールでもよく使われるフレーズです。 busy の使い方は2つ。 1.前置詞 with を使う方法 = busy with ~ Ken is busy with his homework. ケンは宿題に忙しい She is busy with babysitting. 彼女は子守で忙しい My husband is busy with his work. 仕事が忙しい彼氏、今はあまり連絡しない方が良い？ - 私３０歳、彼３３歳、友達... - Yahoo!知恵袋. 夫は仕事で忙しい 2.動名詞を使う方法 = busy ~ing My son is busy practicing for the school concert. 息子は学園コンサートの練習で忙しい I was busy preparing dinner for the guests last night. 私は昨晩来客の夕食準備で忙しかった 1と2はニュアンスが若干違います。 1は、何か(目的語になっている事項)でやることが多く、他のことをやる時間がない 2は、何か(目的語になっている事項)に多くの時間を割いている、「~するのに忙しい」 → 英文添削 無料トライアル → お手軽!英 語de日記 ライトコース 6ヶ月10, 500円
「和らげるようです」は It seems to ease と英語で表現できます。 「すべてのうずきや痛み」は all the aches and pains でOK。 「忙しい1日の」は英語で of a hectic day になります。 「私の人生は忙しいですが、彼女に会う前は空虚でした」 My life is hectic but empty before I met her. 「私の人生は忙しいです」は My life is hectic と英語で表現できます。 「ですが空虚でした」は but empty でOK。 「彼女に会う前は」は英語で before I met her となります。 「私たちは非常に忙しいライフスタイルを過ごします」 We lead a very hectic lifestyle. 恋愛のまとめ | ハウコレ. 「私たちは過ごします」は We lead と英語で表現できます。 「非常に忙しいライフスタイル」は a very hectic lifestyle でOK。 「1995年の夏は忙しい」 The summer of 1995 is hectic. 「1995年の夏」は the summer of 1995 と英語で表現できます。 「忙しい」は英語で is hectic でOK。 「この地域は、都会生活の忙しいペースで疲れている人々のための安息所になった」 The area had become a haven for people tired of the hectic pace of city life. 「この地域は安息所になった」は The area had become a haven と英語で表現できます。 「忙しいペースに 疲れている 人々に」は for people tired of the hectic pace でOK。 「都会生活のペース」は英語で the pace of city life となります。 「かなり忙しい月でした」 It's been a pretty hectic month. 「忙しい月でした」は It' been a hectic month と英語で表現できます。 「かなり」は pretty でOK。 pretty は「かなり、かわいい、きれいな」という意味。英語でプリティと発音します。 「彼らの忙しい予定がなければ、彼らは 計算しました 」 They reckoned without their hectic schedule.