二次不等式は、グラフに変換して考えるとわかりやすかったですね。 二次関数のグラフや判別式への理解を深めるのにも重要な単元なので、しっかりイメージをつかんでおきましょう。
本時の目標 2次関数のグラフを用いて2次不等式を解くことができる。 2次不等式の解を判別式と関連付けて考えることができる。 2次関数のグラフを用いて2不等式を解く 例題1 2次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフを用いて,2次不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) の解を求めましょう。 まず,2次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフをノートに描いてください。 描けましたか? 描けたら,下の 入力ボックス に式「x^2 - 4x + 3」を入力してください。 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフが描かれます。 \(y = \) 勿論,皆さんが描いたグラフと同じになっているはずです。しかし,問題は「皆さんがこのグラフをどのように描いたか?」です。さらに言えば,「グラフを描くために,関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) の式をどのように変形したか?」です。 このことは,不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) はどのように解けるか?に関係しています。不等式を解くためには,上のグラフのどこを見れば良いのでしょうか?
これを使うと、最初の「x²+3x+5>0を満たすxの範囲を求めよ」という問題で、 すべての実数xにおいてx²+3x+5>0にあるかどうかが、グラフを書かなくともわかります。 まず、x²の係数は1で、0以上です。これは①を満たしていますね。 判別式についても、x²+3x+5=0における判別式は、3²-4×1×5 = -11<0 で、②を満たしています。 よってx²+3x+5は、すべての実数xでx²+3x+5>0を満たします。 この、「x²の係数の正負」と「判別式」は、他の問題でもよく使います。 二次不等式が出てくるときは意識しておきましょう! 因数分解だけを使うときに気をつけること ここではグラフを使わずに解く際に気をつけるべきことを説明します。 いつでもグラフで描けるように! グラフを使わずに因数分解だけで解く、といっても、何か特別なことをするわけではありません。そもそも、グラフを描く際にも因数分解はしています。 教科書や参考書で言われる「因数分解を使って二次不等式を解く」とは、グラフを描くのをはしょっているだけなのです。 すべての基本はグラフです!
→ 携帯版は別頁 == 2次不等式 == (解き方まとめ) (Ⅰ) 初めに の係数が負になっている2次不等式は,両辺に-1を掛けて, の係数が正になるように書き換えます. の係数が負になっている2次不等式,例えば のような問題を「そのまま解こうとすると」 という上に凸のグラフを描いて, になるような の値の範囲を探さなければならないことになります. このような問題は,元の不等式を に変形してから解くことに決めておくと,常に の係数が正の という「よく見慣れた」グラフで解けるようになります. そこで,以下においては の係数が負になっている2次不等式が登場したら,両辺に-1を掛けて, の係数が正になるように書き換えて解くことにします. において2次の係数 が正であるとき、グラフは谷形になります。 ⇒ (ただし、 )は谷形 右上に続く↑ (Ⅱ) の係数が正で ア) の解が のとき (1) 問題が なら, 答は マイナスは「間」 (2) 問題が なら, プラスは「両側」 (3) 問題が なら, マイナスは「間」 等号付き (4) 問題が なら, プラスは「両側」 等号付き
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