正四角錐 $O-ABCD$ がある。$OA=9 (cm)$、$AB=8 (cm)$ であるとき、体積 $V (cm^3)$ を求めよ。 正四角錐とは、底面が正方形である錐(すい)のことを指します。 頂点 $O$ から底面 $ABCD$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とする。 このとき、点 $H$ は正方形 $ABCD$ のちょうど真ん中に位置する。 まず、$△CAB$ が「 $1:1:\sqrt{2}$ 」の直角三角形であることから、$$AH=\frac{1}{2}8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$ よって、$△OAH$ に三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて、$OH^2+(4\sqrt{2})^2=9^2$ これを解くと、$OH=7$ したがって、底面積 $S$ とすると体積 $V$ は、 \begin{align}V&=\frac{1}{3}×S×OH\\&=\frac{1}{3}×8^2×7\\&=\frac{448}{3} (cm^3)\end{align} 錐(すい)の体積は、「 $\frac{1}{3}×底面積×高さ$ 」でしたね。 最初の $\frac{1}{3}×$ を忘れないよう注意しましょう。 最短のひもの長さ 問題.
社会 数学 理科 英語 国語 次の三角形の面積を求めよ。 1辺10cmの正三角形 A B C AB=AC=6cm, BC=10cmの二等辺三角形 AB=17cm, AC=10cm, BC=21cmの三角形 図は1辺4cmの正六角形である。面積を求めよ。 図は一辺10cmの正八角形である。面積を求めよ。
三平方の定理の平面図形の応用問題です。 入試にもよく出題される問題をアップしていきます。 定期テスト対策、高校入試対策の問題として利用してください。 学習のポイント 今までの図形の知識が必要となる問題が多くなります。総合的な図形問題をたくさん解いて、解き方を身につけていきましょう。 三平方の定理基本 特別な三角形の辺の比 座標平面上の2点間の距離 面積を求める問題 三平方の定理と円 三平方の定理と相似 線分の長さをxと置いて方程式を作る 問題を解けるように練習してください。 練習問題をダウンロードする 画像をクリックするとPDFファイルをダウンロード出来ます。 *問題は追加する予定です。
\end{eqnarray} $①-②$ を計算すると、$$x^2-(21-x)^2=17^2-10^2$$ この方程式を解くと、$x=15$ と求めることができる。 よって、$CH=21-15=6 (cm)$ であり、$△ACH$ は「 $3:4:5$ の直角三角形になる」ことに気づけば、$$3:4:5=6:AH:10$$ したがって、$$AH=8 (cm)$$ またまた余談ですが、新たな原始ピタゴラス数 $(15, 8, 17)$ が出てくるように問題を調整しました。 ピタゴラス数好きが過ぎました。 ウチダ 中学3年生時点では、この方法でしか解くことはできません。ただ、高校1年生で習う「ヘロンの公式」を学べば、$AH=x (cm)$ と置いても解くことができるようになります。 座標平面上の2点間の距離 問題. $2$ 点 $A(1, -1)$、$B(5, 1)$ の間の距離を求めよ。 三平方の定理は、もちろん座標平面(空間でもOK)でも多大なる威力を発揮します…! 三平方の定理の応用問題【中学３年数学】 - YouTube. ようは、図形に限らず関数の分野などにおいても、これから使い倒していくことが想像できますね。 ここでしっかり練習しておきましょう。 図のように点 $C(5, -1)$ をとると、$△BAC$ は直角三角形になる。 よって、$△BAC$ に三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて、$AB^2=4^2+2^2=20$$ $AB>0$ より、$$AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$ 直方体の対角線の長さ 問題. たてが $5 (cm)$、横が $7 (cm)$、高さが $4 (cm)$ である直方体の対角線の長さを求めよ。 さて、ここからは立体の話になります。 今まで 「たてと横」の $2$ 次元で考えてましたが、そこに「高さ」の要素が加わります。 しかし、$2$ 次元でも $3$ 次元でも、何次元になっても基本は変わりません。 しっかり学習していきます。 対角線 $AG$ の長さは、以下のように求めていく。 $△GEF$ において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使って、$$GE=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}$$ $△AGE$ において三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使って、 \begin{align}AG^2=(\sqrt{65})^2+5^2&=65+25\\&=90\end{align} $AG>0$ より、$$AG=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$ ちなみに、これには公式があって、$$AG=\sqrt{5^2+7^2+4^2}=3\sqrt{10}$$ と一発で求めることができます。 まあただ、この公式だけ覚えても仕方ないので、最初は遠回りでも理解することが大切です。結局それが一番の近道ですから。 正四角錐の体積 問題.
下の図において、弦 $AB$ の長さを求めよ。 直角はありますけど、直角三角形はありませんね。 こういうとき、補助線の出番です。 半径 $OA$ を引くと、$△OAH$ が直角三角形なので、三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いると、$$3^2+AH^2=5^2$$ $AH>0$ より、$$AH=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$ よって、$$AB=2×AH=8$$ 目的があれば補助線は適切に引けますね^^ 円の接線の長さ 問題. 半径が $5 (cm)$ である円 $O$ から $13 (cm)$ 離れた地点に点 $A$ がある。この点 $A$ から円 $O$ にたいして接線 $AP$ を引いたとき、この線分 $AP$ の長さを求めよ。 円の接線に関する問題は、特に高校になってからよく出てきます。 理由は…まあ ある性質 が成り立つからですね。 ところで、この問題分の中に「直角」という言葉はどこにも出てきていません。 そこら辺がヒントになっていると思いますよ。 図からわかるように、円の接線と半径は垂直に交わる。 よって、$△OAP$ が直角三角形となるので、三平方の定理(ピタゴラスの定理)より、$$5^2+AP^2=13^2$$ $AP>0$ なので、$$AP=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 (cm)$$ 円の接線と半径って、垂直に交わるんですよ。 この性質を知っていないと、この問題は解けませんね。 これは余談ですが、一応「 $5:12:13$ 」の比の直角三角形になるよう問題を作ってみました。 ウチダ 「円の接線と半径が垂直に交わる理由」直感的には明らかなんですが、いざ証明しようとするとちょっとめんどくさいです。具体的には、垂直でないと仮定すると矛盾が起きる、つまり背理法などを用いて証明していきます。 方程式を利用する 問題. $AB=17 (cm)$、$BC=21 (cm)$、$CA=10 (cm)$ である $△ABC$ において、頂点 $A$ から底辺 $BC$ に対して垂線を下ろす。垂線の足を $H$ としたとき、線分 $AH$ の長さを求めよ。 さて、いきなり垂線を求めようとするのは得策ではありません。 こういう問題では「 何を文字 $x$ で置いたら計算がラクになるか 」を意識しましょう。 線分 $BH$ の長さを $x (cm)$ とおくと、$CH=BC-BH=21-x (cm)$ と表せる。 よって、$△ABH$ と $△ACH$ それぞれに対して三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いると、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} AH^2+x^2=17^2 ……① \\ AH^2+(21-x)^2=10^2 ……② \end{array} \right.
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林間学校編でのテーマとなったのが『 結びの伝説 』です。 それは「 最終日に行われるキャンプファイヤーのダンスのフィナーレの瞬間に踊っていた(手をつないでいた)ペアは生涯を添い遂げる縁で結ばれる 」というもの。 その瞬間に誰が風太郎と手を繋いでいたのかは32話で明らかとなりました。 結果、 五つ子全員 です。 風太郎は体調不良で最終日には部屋で寝込むことになってしまい、そこへ五姉妹それぞれがお見舞いに行き風太郎の元で全員集合することになります。 そこには「結びの伝説」は関係なくただただ風太郎を心配して集まった5人の姿があり、回復祈願として皆で彼の指を握るのですが、そこで伝説の瞬間が訪れるのです。 つまり5人全員が風太郎と手を繋いでいたためこの描写での花嫁考察は不可能ということになりますが、あえて注目するならば 握った指 でしょうか。 彼女たちが握ったのは、出発時にやっていた「五つ子ゲーム」に対応した指。 一花→親指、二乃→人差し指、三玖→中指、四葉→薬指、五月→小指 「結婚」と言えば 薬指 ですし、「結び」と言えば赤い糸のイメージがある 小指 でしょう。 あるいは、5人で指を握る前に 五月だけ風太郎の手を握っていた 時間があるのですが、その時に実は伝説の瞬間を迎えていたという可能性もあるかもしれません。 【五等分の花嫁】風太郎とキスしたのは誰? 8巻 スクランブルエッグ(温泉旅行)編でのキス もしっかり押さえておきたいところ。 上杉家と中野家が出くわした温泉旅行の地にあった、2人で鳴らすと永遠に結ばれるという伝説の『 誓いの鐘 』の下で風太郎と花嫁がキスをしたことが語られました。 キスをしたのは 五月 ですが、その旅行中は祖父のために 五つ子全員が五月の格好をしていたので、実際には誰だったのかが明らかになっていません 。 描写からだと、風太郎に好意を持っている誰かがこの機をモノにしようと意を決して及んだように見えます。 この時点で風太郎への恋愛感情が明確になっているのが一花・二乃・三玖で、のちに四葉も長らく好意を抱いていたことが判明しました。 そうなってくると五月の可能性も否定できないというグダグダに陥ってしまいそうなので、別の切り口から見てみましょう。 風太郎が結婚式で(恐らく)その時のことをこう振り返っているのです。 「 彼女を特別に感じたのはきっとあの瞬間からだ 」 この時の風太郎は5人の見分けがついていませんので、 このキスから単純に見た目そのままの五月を意識し始めた とは考えられないでしょうか。 あるいは 旅行中に一瞬だけ見分けのついた三玖の可能性もある かもしれません。 【五等分の花嫁】零奈は五姉妹の中のだれか?