「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」について,基礎からわかりやすく解説します。 目次 必要条件,十分条件とは 必要条件と十分条件の覚え方 必要十分条件とは 必要条件と十分条件を判定する例題 必要条件と十分条件を判定する方法 英語 必要条件,十分条件とは 「 P P が成立するならば, Q Q も成立する」とき, Q Q は P P の 必要条件 である,と言います。 P P は Q Q の 十分条件 である,と言います。 例1 「年収1000万以上」 ならば確実に 「年収500万以上」 です。つまり, 「年収500万以上」 は 「年収1000万以上」 の 必要条件 です。 「年収1000万以上」 は 「年収500万以上」 の 十分条件 です。 例2 「 x = 2 x=2 」 ならば 「 x x は偶数」 です。つまり, 「 x x は偶数」 は 「 x = 2 x=2 」 の 必要条件 です。 「 x = 2 x=2 」 は 「 x x は偶数」 の 十分条件 です。 必要条件と十分条件の覚え方 ならば Q Q 」のとき,どちらが必要条件で,どちらが十分条件だっけ…? と困らないように,必要条件と十分条件の覚え方を3つ紹介します。一番しっくりくる方法で覚えてください。 覚え方1. 「必要」と「十分」の意味で覚える Q Q 」 →「 P P が成り立つには Q Q が必要 」 → Q Q が必要条件 →「 Q Q が成り立つためには P P が成り立てば十分 」 → P P が十分条件 例1の場合 「年収1000万以上」ならば「年収500万以上」だが, 「1000万以上」には 「500万以上」が必要 → 「500万以上」が必要条件 「500万以上」のためには 「1000万以上」なら十分 → 「1000万以上」が十分条件 覚え方2.「矢印の先が必要条件」 Q Q 」を矢印を使って「 P → Q P\to Q 」と書いたとき, 矢印の先が必要条件 と覚えます。 覚え方3. 数１の必要十分条件って日本語の意味を理解するよりもシステム的に覚えた方がいいの... - Yahoo!知恵袋. 「包含関係で大きいほうが必要条件」 Q Q 」をベン図(包含関係)で表すと, P P が Q Q に含まれる図になります。 図で大きい方が必要条件 と覚えます。 入試数学コンテスト 成績上位者(Z) 必要十分条件とは 必要条件でもあり,十分条件でもあるとき,必要十分条件と言います。 つまり,「 P P Q Q 」と「 Q Q P P 」が両方成立するとき, 「 P P は Q Q の必要十分条件」と言います。 「 Q Q は P P の必要十分条件」とも言います。 「 P P と Q Q は同値である」とも言います。 例えばサイコロを1個ふって出た目を x x とするとき「 x x が偶数」は「 x x が 2, 4, 6 2, 4, 6 のいずれか」の必要十分条件です。 必要条件と十分条件を判定する例題 必要条件・十分条件に関する例題を解いてみます。以下のそれぞれについて, P P は Q Q のどのような条件になっているでしょうか?
数学では「仮定」が何で,「結論」が何かということを意識するのは非常に重要です. これを間違えるとまったく意味のない議論になってしまい,すべてが破綻することもあります. たとえば,「$p$であるとき,$q$を証明せよ.」という問いで,証明の中で$q$を使ってしまうという誤りがよくあります. これは「まだ$q$が成り立つか分かっていないのに,$q$が成り立つ前提で話を進めてしまっている」というのが間違いです. この記事では,論理関係の基本として 条件とは何か 必要条件と十分条件の違い について具体例を用いて詳しく説明します. 命題と条件 必要条件,十分条件について説明する前に,「命題」と「条件」の概念について整理しておきます. しかし,この節はあまり深く考えるとよく分からなくなる恐れがあるので,ある程度読み飛ばして次の「必要条件と十分条件」の節に進んでしまっても構いません. 命題 まずは「命題」について説明します. 【3分でサクッと理解！】必要十分条件の意味、覚え方をイチから解説！ | 数スタ. 正しいか正しくないかが明確に決まる主張を 命題 という.また,命題が正しいとき命題は 真 であるといい,命題が正しくないとき命題は 偽 であるという. 少し曖昧な感じがする人はその感覚は正しいです. しかし,厳密に命題というものを定義するには「数理論理学」という数学を学ぶ必要があるので,詳しくはここでは触れません. 要は 彼の身長は180cm以上ある 2は偶数である 5は4で割り切れる など 正しいか正しくないかが決まる事柄を命題というわけですね. 一方, 彼女は頭が良い 彼は背が高い など 判断する人の主観に依存する事柄は命題とは言いません. また, 「2は偶数である」は真 「5は4で割り切れる」は偽 ですね. 条件 次に「条件」について説明します. 文字$x$を含んだ文や式において,文字のとる値を変えると真偽が変わるものがある.このような文字$x$を含んだ文や式を,$x$の 条件 という. たとえば, $x$は整数である $x$は3以上の奇数である は $x$が変わるごとに真偽もそれに対して決まるので「$x$の条件」ですね. 命題は条件$p$と$q$を用いて「$p$ならば,$q$である」の形で書かれることが多くあります. たとえば,条件$p$と$q$を $p$:$x$は4の倍数である $q$:$x$は偶数である と定めると,「$p$ならば,$q$である」は「$x$が4の倍数ならば,$x$は2の倍数である」ということになり,これは真の命題です.
公開日時 2021年01月17日 20時48分 更新日時 2021年06月24日 22時00分 このノートについて ͡° ͜ʖ ͡° これさえ覚えればできる! このノートが参考になったら、著者をフォローをしませんか?気軽に新しいノートをチェックすることができます! コメント このノートに関連する質問
切片 ここで, 切片 の定義をしておきましょう. $xy$平面上の直線$\ell$に対して, 直線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標を,直線$\ell$の $x$軸切片 直線$\ell$と$y$軸との交点を$y$座標を,直線$\ell$の $y$軸切片 という. 傾きのある直線の方程式$y=mx+c$は$y$軸切片が$c$とすぐに分かりますね. また,$x$軸にも$y$軸にも平行でない直線の方程式$ax+by+c=0$については,$a\neq0$かつ$b\neq0$で $x=0$なら$y=-\dfrac{c}{b}$ $y=0$なら$x=-\dfrac{c}{a}$ なので,下図のようになります. すなわち, $y$軸切片は$-\dfrac{c}{b}$ $x$軸切片は$-\dfrac{c}{a}$ というわけですね. $xy$平面において,[傾きをもつ直線]と,[傾きをもたない直線]の2つのタイプの直線がある.$ax+by+c=0$ (実数$a$, $b$は少なくとも一方は0でなく,$c$は任意の実数)の形の方程式は,これら2つのタイプの直線の両方を含んだ[一般の直線の方程式]である. 平行条件と垂直条件 それでは,$xy$平面上の直線が平行となる条件,垂直となる条件について説明します. 数学Ｉ：必要条件・十分条件の違い、わかりやすい覚え方ってあるの？ – 都立高校受験応援ブログ. 傾きのある直線の場合 傾きをもつ2直線の[平行条件]と[垂直条件]は次の通りです. [平行条件・垂直条件1] $xy$平面上の2直線$\ell_1:y=m_1x+c_1$, $\ell_2:y=m_2x+c_2$に対して,次が成り立つ. $\ell_1$と$\ell_2$は平行である $\iff m_1=m_2$ $\ell_1$と$\ell_2$は垂直である $\iff m_1m_2=-1$ この定理については前回の記事で説明した通りですね. 一般の直線の場合 一般の直線の[平行条件]と[垂直条件]は次の通りです. [平行条件・垂直条件2] $xy$平面上の2直線$\ell_1:a_1x+b_1y+c_1=0$, $\ell_2:a_2x+b_2y+c_2=0$に対して,次が成り立つ. $\ell_1$と$\ell_2$は平行である $\iff a_1b_2=a_2b_1$ $\ell_1$と$\ell_2$は垂直である $\iff a_1a_2=-b_1b_2$ この[平行条件・垂直条件2]が成り立つ理由 傾きをもつ直線の公式を用いる方法 係数比を用いる方法 を考えましょう.素朴には1つ目の傾きを用いる方法でも良いですが, 2つ目の比を用いる方法はとても便利なので是非身につけて欲しいところです.
【発展】無限降下法 無限降下法は、自然数(またはその部分集合)には必ず最小の元(要素)が存在するという性質を利用した証明方法です。 背理法 (命題の否定の矛盾を示す)と 数学的帰納法 (自然数の性質を利用する)を組み合わせた証明の流れが特徴的です。 無限降下法 命題の否定 \(\overline{P}\) を満たす自然数 \(n_1\) があると仮定する。 \(n_1\) より小さい \(n_2\) でも命題を満たすものを示す。 これを繰り返すと、命題を満たす自然数の無限列 \(n_1 > n_2 > n_3 \cdots\) が得られるが、自然数には最小の元 \((= 1)\) があるので、仮定に矛盾があることが示される。 仮定が誤っている、つまり、命題が成り立つことが示される。 無限降下法は以下のような問題で利用できます。 無理数であること or 有理数であることを示す問題 不定方程式に関する問題 フェルマーの最終定理 \((n = 4)\) 発展的な証明方法ですが、難関大入試を目指す人は一通り理解を深めておきましょう。 以上が集合・命題・証明に関するまとめでした! この分野への理解を深めることは、数学的な論理思考能力UPに直結します。 関連記事も確認しながら、ぜひマスターしてくださいね!
クロシロです。 ここでの問題は私が独自に考えた問題であるために 多少、似た問題があると思いますがご了承ください。 今回は、数学の中でも計算する機会が少ない 必要条件と 十分条件 について解説していこうと思います。 必要条件と 十分条件 の見分け方とは? 必要条件と 十分条件 の見分け方としてよく教えてたのが、 重要 です。 ポカーンとすると思いますが、 重要の重は 十分条件 の十 で 要は必要条件の要 をとって覚えさせました。 これを覚えてないと、 本来なら必要条件なのに 十分条件 と答えてしまった などのミスをなくすことが出来るのです。 では実際に例題を交えながら分かりやすく説明していきます。 十分条件 が成り立って必要条件が成り立たないパターンは? 分かりやすく、日常生活でありえそうなことで命題にしてみようと思います。 バドミントンはラケットを使う競技である このような命題があったとしましょう。 まず、この命題は 正しい と思いませんか? つまり、何もおかしいことは無いと言えます。 それでは今の命題を逆にしてみると ラケットを使う競技はバドミントンである となったらどうでしょう。 これは 正しいとは言えません 。 ラケットを使う競技の中にバドミントンは含まれてますが、 ラケットを使う競技はバドミントンだけですか? ソフトテニス や卓球などもラケットを使ってませんか? このように最初から与えられた命題が正しかったら 十分条件 が確定 します。 その命題を逆にしても正しくないと必要条件が成り立ちません。 今回は 十分条件 で 反例 は ソフトテニス や卓球 などがあります。 反例とは、 ある命題が成り立たない時になぜ成り立たないの? と言われたときに このようなパターンがあったら成り立たないでしょ。 とパターンを出して納得させるものと思っていただけたらなと思います。 日常の命題で例えたので、今度はちゃんと数学の命題でやってみましょう。 命題として ab≠0であればa≠0である(ただし、a, bは実数である) これだけ見ても何が何だか分からないと思うので分かりやすく記します。 何かしらの数をかけて0にならないなら片方は0でないとおかしい これは正しいですよね? こなぜなら、 a, bは0以外の数と確定してるから です。 0以外の数で何かかけて0になるパターンってありますか?
また,条件$p$と$q$を $p$:三角形Xは二等辺三角形である $q$:三角形Xは正三角形である と定めると,「$p$ならば,$q$である」は「三角形Xが二等辺三角形ならば,Xは正三角形である」ということになり,これは偽の命題ですね. 命題$p\Ra q$が真であるとは,$p$が成り立つときに必ず$q$が成り立つことをいう. 必要条件と十分条件 それではこの記事の本題の 必要条件 十分条件 について説明します. 必要条件と十分条件の定義 [必要条件,十分条件] 条件$p$, $q$に対し,命題「$p$ならば,$q$である」を, と書く.命題$p\Ra q$が真であるとき, $p$は$q$の 十分条件 である $q$は$p$の 必要条件 である という.また,命題$p\Ra q$と命題$q\Ra p$がともに真であるとき,$p$は$q$の 必要十分条件 である,または$p$と$q$は 同値 であるという. $p$が$q$の必要十分条件なときは,$q$は$p$の必要十分条件でもありますね. さて,すでに「命題の真偽」については少し説明しましたが,ここでもう一度触れておきます. 先ほど[ポイント]で「命題$p\Ra q$が真であるとは,$p$が成り立つときに 必ず $q$が成り立つことをいう.」と書きましたが,この「必ず」という部分が重要です. つまり, $p$が成り立っているのに,$q$が成り立たない場合が1つでもあれば,命題$p\Ra q$は偽であるということになります. 具体例 それでは具体例を考えてみましょう. 次のそれぞれの場合において,命題$p$, $q$はそれぞれ他方の必要条件か,十分条件か. $p$;A君はX高校の生徒である $q$:A君は高校生である $p$:$x$は偶数である $q$:$x$は4の倍数である $p$:$x$は6の倍数である $q$:$x$は2の倍数かつ3の倍数である (1) [$p\Ra q$の真偽] 「$p$:A君はX高校の生徒である」とするとき,必ず「$q$:A君は高校生である」でしょうか? これは必ず正しいですから,命題「$p\Rightarrow q$」は真です. したがって,$p$は$q$の十分条件です. [$q\Ra p$の真偽] 「$q$:A君は高校生である」とするとき,必ず「$p$:A君はX高校の生徒である」でしょうか?
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