ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法 階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう. 階差数列とは 与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります. 数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1, 2, 3, \cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の 階差数列 といいます. つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです. まとめると, 階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかる ということです. 階差数列と一般項 実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう. 階差数列 一般項 練習. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます. 階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ. これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です. 注意点 ・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです. ・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.
(怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~ という外部サイト) ということで,場合分けは忘れないようにしましょう! 一般項が k k 次多項式で表される数列の階差数列は ( k − 1) (k-1) 次多項式である。 これは簡単な計算で確認できます,やってみてください。 a n = A n + B a_n=An+B タイプ→等差数列だからすぐに一般項が分かる a n = A n 2 + B n + C a_n=An^2+Bn+C タイプ→階差数列が等差数列になる a n = A n 3 + B n 2 + C n + D a_n=An^3+Bn^2+Cn+D タイプ→階差数列の階差数列が等差数列になる 入試とかで登場するのはこの辺まででしょう。 一般に, a n a_n が n n の k k 次多項式のとき,階差数列を k − 1 k-1 回取れば等差数列になります。 例えば,一般項が二次式だと分かっていれば, a 1, a 2, a 3 a_1, a_2, a_3 で検算することで確証が得られるのでハッピーです。 Tag: 数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧
難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「階差数列」について解説します 。 今回は 階差数列の一般項の求め方から,漸化式の解き方まで,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 階差数列とは? 階差数列とは？和の公式や一般項の求め方、漸化式の解き方 | 受験辞典. まずは 階差数列 とは何か?ということを確認しましょう。 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差 \( b_n = a_{n+1} – a_n \) を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。 【例】 \( \left\{ a_n \right\}: 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \) の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は となり,初項1,公差2の等差数列。 2. 階差数列と一般項 次は,階差数列と一般項について解説していきます。 2. 1 階差数列と一般項の公式 階差数列と一般項の公式 注意 上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。 なぜなら,\( n=1 \) のとき,シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい,数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。 \( n = 1 \) のときは,求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。 Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「 Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式) 」の記事で詳しく解説しているので,チェックしておきましょう。 2. 2 階差数列と一般項の公式の導出 階差数列を用いて,なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。 【証明】 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると これらの辺々を加えると,\( n = 2 \) のとき よって \( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \) 以上のようにして公式を得ることができます。 3.
階差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 階差数列まとめ 【階差数列と一般項の公式】 【漸化式と階差数列】 \( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n)} \) (\( f(n) \) は階差数列の一般項) 以上が階差数列の解説です。 階差数列については,公式の導出の考え方が非常に重要です。 公式に頼るだけでなく,公式の導出と同様の考え方で,その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
1 階差数列を調べる 元の数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。 それぞれの数列に名前をつけておくとスムーズです。 \(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\) 階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。 つまり、この階差数列は 等差数列 であることがわかりますね。 STEP. 2 階差数列の一般項を求める 階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。 今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式から求められますね。 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\) STEP. 3 元の数列の一般項を求める 階差数列の一般項がわかれば、あとは階差数列の公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。 補足 階差数列の公式に、条件「\(n \geq 2\)」があることに注意しましょう。 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。 よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。 \(n \geq 2\) のとき、 \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\) \(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\) より、 これは \(n = 1\) のときも成り立つので \(a_n = n^2 + 2n + 3\) 答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\) このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!
ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね! 階差数列とは?
暖房に工夫 寒い冬は犬にとってもつらいものです。暖かい環境を作ってあげることで、愛犬もストレスなく快適にすごすことができます。 珪藻土のクロスを利用するだけでなく、無垢の天然木などの自然素材を採用しながらも断熱性を高めています。 また、薪ストーブもおすすめです。しっかりと躾をしておき、注意すべきポイントを抑えることで、危険性を抑えることができますし、家全体をしっかりと暖めることができますよ。 こちらのお家では、一度暖めれば外気がマイナスの日でも朝の室温が16℃を維持した状態できたとのことです。 犬と暮らす家の事例4. 犬と暮らす家がつくりたい！vol.11 堂々完成！犬と快適に暮らすための家！｜生活を考える｜My House Palette（マイハウスパレット）｜ダイワハウス. 中古住宅を愛犬仕様にリフォームした家 アイデア1. 愛犬がストレスなく動き回れる動線 新築で住宅を建てなくても、愛犬と快適に暮らす家にすることはできます。愛犬家住宅の知識を持ったプロが中古住宅をリフォームすることで、人にも愛犬にも快適な住宅に変えることができるのです。 通常の住宅では、愛犬が自由に活動できるスペースがありません。リビングの一角にケージを置いたり、犬用の部屋を作る程度です。これでは犬はストレスが溜まってしまいます。 この例の家では、ドアにペットドアを付け、犬が自由に部屋を移動できるようにしました。愛犬が家中を自由に回れるようになり、ストレスを抑えることができています。床材を滑りにくいものにすることで、愛犬が走り回っても怪我をすることがありません。 さらに、中古住宅では小さな段差が多いものです。そこで、床の段差を解消することで、愛犬の怪我を減らしています。これらは人が暮らす上でも快適にしてくれます。 アイデア2. 愛犬のお手入れがしやすいようにリフォーム 愛犬と暮らすときに、日々のお手入れはとても大切です。犬のお風呂や散歩帰りに足を流す作業、床の掃除など、愛犬やお部屋の手入れがしやすくなければ、負担が大きくなってしまうのです。 玄関ポーチの横には立水栓を設置することで、泥や汚れを簡単に落とせるようにし、日々の散歩における手間を減らしています。マイクロバブルで毛穴の汚れまで落とせる機能がある愛犬専用の洗面台「Bonito」を設置することで、犬の臭いを抑えることに成功。 以前キッチンがあった場所を愛犬用スペースにして、床をタイルにしたり、傷に強い壁にすることで、日々の掃除や手入れを楽にしています。 犬と暮らす家の事例5. 大型犬と暮らすための家 アイデア1.
デザインと機能を両立 設計士がデザインするからこそ、愛犬へのリスクを最小限に減らしながらも、愛犬が暮らしやすい細かな機能的な工夫がいっぱいです。 ペットスペースにはこだわり、階段下に設置したペットスペースは中を二分割しており、入口も2つ作成。ひとつは愛犬がくつろぐベッドで、もうひとつはトイレにしています。これによってトイレをわざわざ作らなくていいですし、ベッドからのトイレの移動も楽々です。 フローリングはガラスコーティングをしているので、滑りにくく愛犬の体に負担がかかることもありませんし、傷がつかないのでずっときれいな状態です。 キッチン周りは危険がいっぱいですが、キッチンの入り口にスライド式の扉を設置し、犬が中に入れないようにしています。愛犬を眺めながら料理ができるキッチンです。 玄関横には小さな窓を設置しているので、来客や物音など、気になったときに外を見られるようにしています。断熱材にはセルロース断熱を使用しているので防音性が高く、外に鳴き声が漏れるのを防ぐとともに、外の音に反応してしまうことを防いでいます。 アイデア2. 「犬と暮らす」のアイデア 62 件【2021】 | 犬の部屋, 家, 犬と暮らす家. 犬が走り回るための工夫 走ることが大好きな犬だからこそ、庭にはドッグランを設置。丘にはトンネルも作り、中で涼めるようにしています。 リビングからドッグランに飛び出せるように、庭に盛り土をしてリビングとの高低差を小さくしています。リビングから飛び出して走り回る愛犬を眺めることができますし、ドッグランには高めの柵を設置しているのでずっと外で遊ばせても安心です。 ドッグランの脇のテラスには足洗い場を設置。シャワーを設置しているので、庭で遊んだあとの足洗いも楽な動線になっています。 さらには、シューズクロークの脇には愛犬用洗面化粧台も設置。マイクロバブルが出るので、小型犬であればグルーミングやシャンプーまでできてしまいます。走り回る犬をケアするのにぴったりな設備が用意されています。 犬と暮らす家の事例3. 愛犬専用の部屋があるお家 アイデア1. 人間も愛犬も暮らしやすい工夫 家中を犬が移動できると、犬はキッチンなどの危険な所にも入ってしまうことがあります。だからこそ、この事例の家では、愛犬専用のお部屋を設置。 犬の様子を見たいときに扉を開くと、その隙間から犬たちが飛び出してしまうこともあります。それを防ぐために、「上下に別々に開く扉」を採用。上下に別々に開くので、室温の調節もできますし、愛犬の様子だけをみることもできます。 さらに、リビングの一角には和室を作って人間がこたつでくつろげるコーナーを設置。ここは18㎝の段差を持たせており、愛犬に入ってはいけないことを認識させています。和室に犬が入らないので畳が汚れることもなく、こたつで低温やけどすることも防げます。 小さな工夫で人間と愛犬双方が暮らしやすい環境を作っている、よい例ですね。 アイデア2.
こちらのサイト に紹介させていただいていますので、良かったら参考にしてください。 この記事を書いたペット愛好家の住まいの専門家 勝部 千尋 毛玉ライター・犬猫相談員 静岡県沼津市出身/京都芸術大学卒 大学卒業後、オーストラリアに1年間滞在。 現地ではドッグトリミングサロンで助手のアルバイトを経験。 サロンでの... エリア:東京都 愛犬家住宅コーディネーター
「賃貸は家賃がもったいないし、子どもたちのためにもマイホームを建ててあげたいなぁ」とは、誰もが思うことかもしれません。 夢にまで見た、自分たち家族のためのマイホームです。これから始まる新しいお家での生活を想像するだけでワクワクしてしまいますよね。そんなワクワクの中に、アパート暮らしでは実現出来なかった「愛犬と一緒に暮らす」という夢を持たれる方も少なくありません。 しかし、多くの方が実際にマイホームを建築してから愛犬を探し始めます。それによって、せっかく新しいマイホームを建てたにもかかわらず、愛犬のための設備が無かったり、家族が愛犬と遊ぶための場所がなかったり、家族と一緒に過ごせるスペースが無かったりなど、「こうしておけば良かったなぁ」と感じることもしばしば。中には、愛犬を室内で育てるには不向きな家になってしまうこともあります。 今回ご紹介する「子育て世代の愛犬家住宅」は、「こうしておけば良かった」が無い、愛犬と一緒に暮らすこと、遊ぶことを前提に建てた住宅です。 犬と暮らす家の工夫をふんだんに盛り込んだ事例を紹介! 「愛犬のいない人生なんて考えられない」とお考えの愛犬家の方も多いと思いますが、今回ご紹介するお宅のお施主様も、「自分たちが生きている限り、愛犬とは離れられない」という根っからの愛犬家のご家族です。 以前のお住まいでは、愛犬と一緒にリビングで暮らすといった、世間一般でも良く見られるライフスタイルでした。しかし、愛犬と一緒に暮らしてみて「愛犬にとって暮らしやすい空間」と、「人間にとっての心地よい空間」は異なることがわかりました。 その気づきを活かした新しい住まいでは、お互いが暮らしやすい住まいをカタチを実現するための工夫を凝らしました。 愛犬のために作った「広大なドッグラン」をはじめ、細かい部分まで愛犬のための工夫を詰め込んだ新居には、「1日中快適な暮らしを可能にする室内ドア」や、「和室に愛犬が入らないようにするための仕掛け」など、これから「愛犬家住宅」を計画される方にとって、参考になる工夫がたくさん隠されています。 5匹の愛犬に囲まれて暮らすことで見えてきた、「愛犬と人聞がお互いに心地よいデザインの工夫」を詰め込んだ「薪ストーブのある和風モダンな愛犬家住宅」。あなたの家づくりの参考にしてみてはいかがでしょうか。 中古住宅を「犬と暮らす家」にリフォームした事例を紹介!
犬は家のなかで長い時間を過ごします。留守番の時間もいれると、人間よりも長い時間家にいるかもしれません。だからこそ、愛犬と暮らす家にはこだわってあげたいですよね。 でもあなたが犬と暮らす家を作りたいと思っても、実際どんなポイントに気をつければいいか、どんな家にすればいいかがわからないかもしれません。 犬と暮らす家のために、どんな選択肢やアイデアがあるかを知らなければ、犬にとっても人間にとっても快適な家を作ることはできません。 ここでは、犬と暮らすための家のプロである、愛犬家住宅コーディネーターが取り組んだ事例を紹介します。これらの事例のなかには愛犬と暮らす家のアイデアがたくさんあるので、ぜひ参考にしてくださいね! 犬と暮らす家の事例1. 愛犬のストレスを最大限減らした家 アイデア1. ペットスペースに工夫 犬には、人間と同じように、みんなでいたい時と一人でいたい時があります。みんなでいたい時はリビングで家族がくつろいでいる近くにいたいですし、一人になりたい時にはちょっと離れたところでゆっくりしたいのです。 犬は、ずっと人がいたり、ずっとひとりだけの空間ではストレスを感じてしまいます。 そんな犬のために、ペットスペースを複数設置するのはよい方法です。この例では、キッチン奥にプライベートな空間を作るだけでなく、リビングの脇にもペットスペースを設置しています。 ケージの壁や扉はプラスチックの窓によって、家族を見られるようになっているので寂しさを感じることもありません。2つの居場所を作ることで、愛犬にとってストレスのない暮らしを実現できました。 アイデア2. 床や壁、庭にも工夫 さらに愛犬が歩くため、走るために最適な家にしています。 家のなかの床は滑りにくいようにコーティング。フローリングなどで、犬が足を滑らせて怪我をすることを防いでいます。愛犬スペースはクッションフロアにしているので、ペットが生活しやすいだけでなく、掃除もしやすいです。 お家の壁には消臭効果のある壁紙を使用しているので、ペットの臭いが染みつくこともありません。 リビングの先にはウッドデッキを設置しており、庭にすぐに出れる設計です。庭にはドッグランを設置し、犬が自由に走り回れるスペースを作っています。庭のフェンス、柵も大型犬でも脱走できない高さにしているので安心です。 犬と暮らす家の事例2. 設計士がデザインした犬のための家 アイデア1.
リビングやベッドルームの指定席でぐっすりおやすみ中、キッチンでごはんタイムを、玄関でお散歩タイムを待つ姿、庭でのんびり日向ぼっこ――。世界のHouzzからセレクトした、ユーモラスで愛らしい犬たちが一緒の暮らしのワンシーンをとらえた写真を、たっぷりとお楽しみください。手作りのベッドやペットグッズの収納コーナーのアイデア、犬用のシャワー&バスの設えなど、愛犬との快適な暮らしの参考になりそうなショットも満載です。 気に入った写真があったら、ぜひアイデアブックに保存してくださいね。 アイデアブックに写真を保存する方法はこちら: Houzzの使い方:お気に入りの写真をアイデアブックに保存しよう! こちらもあわせて: 猫と暮らす家100選!
Feature 特集「愛犬家住宅の実例」 Housing design to live with dogs 愛犬と幸せに暮らす住まいをご紹介 愛犬との豊かで楽しい暮らしは、住まいの工夫次第で、もっともっと膨らみます!