5 = \displaystyle \frac{1}{2}\)、\(− 0. 25 = − \displaystyle \frac{1}{4}\) 循環小数 無限に続く数ではありますが、これも分数に直せるので立派な有理数です。 (例) \(0. 333333\cdots = \displaystyle \frac{1}{3}\)、\(− 0. 133333\cdots = − \displaystyle \frac{2}{15}\) 一方、無限小数のうちの「 非循環小数 」は分数で表すことができない、無理数です。 (例) \(\sqrt{2} = 1. 41421356\cdots\) などの平方根 円周率 \(\pi = 3. 141592\cdots\) 有理数と無理数の練習問題 それではさっそく、イメージをつかむために練習してみましょう。 練習問題「有理数と無理数に分類」 練習問題 以下の数字について、問いに答えなさい。 \(− 6、\sqrt{7}、\displaystyle \frac{4}{3}、\pi、0. 134、\displaystyle \frac{11}{2}、0\) (1) 有理数、無理数に分類しなさい。 (2) 整数、有限小数、無限小数に分類しなさい。 有理数は分数(整数 \(\div\) 整数)に直せる実数、無理数はそれ以外の実数でしたね。 また、小数のうち、有限小数は小数点以下が有限なもの、無限小数は無限に続くものです。 (2) では、それぞれの数字を小数であらわして、\(1\) つずつ確認してみましょう。 解答 (1) それぞれの数を分数に直すと、 \(− 6 = − \displaystyle \frac{6}{1}\) \(\sqrt{7}\) (×) \(\displaystyle \frac{4}{3}\) \(\pi\)(×) \(0. 有理数と、無理数の違いが良くわからないので、おしえてください。また０．１... - Yahoo!知恵袋. 134 = \displaystyle \frac{134}{1000}\) \(\displaystyle \frac{11}{2}\) \(0 = \displaystyle \frac{0}{1}\) \(\sqrt{7}\) と \(\pi\) は分数にできないため、無理数である。 答え: 有理数 \(− 6、\displaystyle \frac{4}{3}、0. 134、\displaystyle \frac{11}{2}、0\) 無理数 \(\sqrt{7}、\pi\) (2) それぞれの数を小数に直すと、 \(− 6\) \(\sqrt{7} = 2.
以上、有理数と分数、無理数の違いを、よくある誤解を交えて紹介してきました。 何度も言いますが、有理数とは整数の比として表せる数です。学校の試験問題として出題される分には、有理数か無理数かは簡単に判別できることが多いでしょう。 有理数と無理数・実数は、どちらも実用的ではあるのですが、後者の扱いは結構難しいです。その分、奥深く面白い世界が広がっています。今回の話をきっかけに、数の世界に興味を持ってもらえたら嬉しいです。 木村すらいむ( @kimu3_slime )でした。ではでは。 Joseph H. Silverman(著), 鈴木 治郎(翻訳) 丸善出版 (2014-05-13T00:00:01Z) ¥3, 740 落合 理(著) 日本評論社 (2019-05-30T00:00:00. 000Z) ¥1, 348 こちらもおすすめ 近似値を正確に:指数記法と有効数字、丸めとは何か 稠密性とは:有理数、ワイエルシュトラスの近似定理を例に ニュートン法によってルート、円周率の近似値を求めてみよう 「0. 999…=1」はなぜ? 無限小数と数列の極限を解説 円の面積・円周、球の体積・表面積の公式の覚え方(微積分) 「AならばB」証明の書き方、直接法、対偶法、背理法 環、体とは何か:数、多項式、行列、Z/nZを例に
41\)くらいであると測ることはできるでしょう。しかしそれは近似値に過ぎず、\(\sqrt{2}\)そのものではありません。(\(\sqrt{2}\)が無理数であることは、 背理法 により簡単に証明できます。) よく「\(\sqrt {2}=1. 41\)とする」といった表現を試験で見ることがありますが、これは誤解のもとではないかと思っています。それらは決して等しくなりません \(\sqrt{2} \neq 1. 41\)。近似して良いという意味なら、等号を使わずに\(\sqrt {2} \sim 1. 41\)と表すのが良いでしょう。 それでも、結局すべての数は有理数で表せるような気がしてしまうのは、有理数が数直線上にまんべんなくあるからでしょう。\(x\)が無理数だったとしても、それをいくらでも精度良く近似する有理数\(y\)を選ぶことがえきるのです。 これを有理数の(実数における) 稠密性 (ちょうみつせい)と言います。ぎっしり詰まっている、という意味です。電卓で√を使うと、小数として計算をしてくれますが、それは有理数による近似値を使った計算なのです。理論的には、どんな無理数も桁を増やした小数でいくらでも近似できます。 参考: 稠密性とは:有理数、ワイエルシュトラスの近似定理を例に 、 ニュートン法によってルート、円周率の近似値を求めてみよう 有理数も無理数も、数直線上にはたくさんあります。しかし実は、対応関係によって数の「多さ」=濃度を比較すると、有理数はスカスカなのに対し、無理数が大部分を占めていることがわかります。前者は可算濃度、後者は非可算濃度と呼ばれるものです。 参考: 無限集合の濃度とは? 写像の全単射、可算無限、カントールの対角線論法 そもそも、 無限に桁のある小数 というものは、直感的ではなく、扱いにくい概念です。\(0. 9999\cdots =1\)という式は正しいのですが、それを理解するには 極限 という考え方を理解する必要があるでしょう。 参考: 「0. 999…=1」はなぜ?
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