二項定理の練習問題② 多項定理を使った係数決定問題! 実際に二項定理を使った問題に触れてみましたが、今度はそれを拡張した多項定理を使った問題です。 二項定理の項が増えるだけなので、多項定理と二項定理の基本は同じ ですよ。 早速公式をみてみると、 【公式】 最初の! がたくさんある部分は、 n C p ・ n-p C q ・ n-p-q C r を書き換えたものとなっています。 この意味も二項定理の時と同じで、「n個の中からaをp個, bをq個, cをr個選ぶ順列の総数」を数式で表したのが n C p ・ n-p C q ・ n-p-q C r なのです。 また、p+q+r=n、p≧0, q≧0, r≧0の条件は、二項定理で説明した、「選んでいく」という考えをすれば当然のこととわかります。 n個の中からaを-1個選ぶ、とかn個の中からaをn+3個選ぶ、などはありえませんよね。 この考えが 難しかったら上の式を暗記してしまうのも一つの手 ですね! それでは、この多項定理を使って問題を解いていきましょう! 問題:(1+4x+2y) 4 におけるx 2 y 2 の項の係数を求めよ。 解答:この展開式におけるx 2 y 2 の項は、一般項{n! /(p! q! r! )}・a p b q c r においてn=4、p=0、q=2、r=2、a=1、b=4x、c=2y、と置いたものであるから、各値を代入して {4! /0! ・2! ・2! }・1 0 ・(4x) 2 ・(2y) 2 =(24/4)・1・16x 2 ・4y 2 =384x 2 y 2 となる。(0! =1という性質を用いました。) したがって求める係数は384である。…(答え) やっていることは先ほどの 二項定理の問題と全く一緒 ですね! では、こちらの問題だとどうなるでしょうか? 問題:(2+x+x 3) 6 におけるx 6 の項の係数を求めよ。 まず、こちらの問題でよくあるミスを紹介します。 誤答:この展開式におけるx 6 の項は、一般項{n! /(p! q! r! )}・a p b q c r においてn=6、p=4、q=0、r=2、a=2、b=x、c=x 3 と置いたものであるから、各値を代入して {6! 二項定理を簡単に覚える！ 定数項・係数の求め方 | 高校数学の知識庫. /4! ・0! ・2! }・2 4 ・x 0 ・(x 3) 2 =(720/24・2)・16・1・x 6 =240x 6 したがって求める係数は240である。…(不正解) 一体どこが間違えているのでしょうか。 その答えはx 6 の取り方にあります。 今回の例だと、x 6 は(x) 3 ・x 3 と(x) 6 と(x 3) 2 の三通りの取り方がありますよね。 今回のように 複数の項でxが登場する場合は、この取り方に気をつける必要があります 。 以上のことを踏まえると、 解答:この展開式におけるx 6 の項は、一般項{n!
と疑問に思った方は、ぜひ以下の記事を参考にしてください。 以上のように、一つ一つの項ごとに対して考えていけば、二項定理が導き出せるので、 わざわざすべてを覚えている必要はない 、ということになりますね! ですので、式の形を覚えようとするのではなく、「 組み合わせの考え方を利用すれば展開できる 」ことを押さえておいてくださいね。 係数を求める練習問題 前の章で二項定理の成り立ちと考え方について解説しました。 では本当に身についた技術になっているのか、以下の練習問題をやってみましょう! (練習問題) (1) $(x+3)^4$ の $x^3$ の項の係数を求めよ。 (2) $(x-2)^6$ を展開せよ。 (3) $(x^2+x)^7$ の $x^{11}$ の係数を求めよ。 解答の前にヒントを出しますので、$5$ 分ぐらいやってみてわからないときはぜひ活用してください^^ それでは解答の方に移ります。 【解答】 (1) 4個から3個「 $x$ 」を選ぶ(つまり1個「 $3$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_4{C}_{3}×3={}_4{C}_{1}×3=4×3=12$$ ※3をかけ忘れないように注意! 二項定理を超わかりやすく解説（公式・証明・係数・問題） | 理系ラボ. (2) 二項定理を用いて、 \begin{align}(x-2)^6&={}_6{C}_{0}x^6+{}_6{C}_{1}x^5(-2)+{}_6{C}_{2}x^4(-2)^2+{}_6{C}_{3}x^3(-2)^3+{}_6{C}_{4}x^2(-2)^4+{}_6{C}_{5}x(-2)^5+{}_6{C}_{6}(-2)^6\\&=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\end{align} (3) 7個から4個「 $x^2$ 」を選ぶ(つまり3個「 $x$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$ (3の別解) \begin{align}(x^2+x)^7&=\{x(x+1)\}^7\\&=x^7(x+1)^7\end{align} なので、 $(x+1)^7$ の $x^4$ の項の係数を求めることに等しい。( ここがポイント!) よって、7個から4個「 $x$ 」を選ぶ(つまり3個「 $1$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$ (終了) いかがでしょう。 全問正解できたでしょうか!
/(p! q! r! )}・a p b q c r においてn=6、a=2、b=x、c=x 3 と置くと (p, q, r)=(0, 6, 0), (2, 3, 1), (4, 0, 2)の三パターンが考えられる。 (p, q, r)=(0, 6, 0)の時は各値を代入して、 {6! /0! ・6! ・0! }・2 0 ・x 6 ・(x 3)=(720/720)・1・x 6 ・1=x 6 (p, q, r)=(2, 3, 1)の時は {6! /2! 二項定理の公式と証明をわかりやすく解説（公式・証明・係数・問題）. ・3! ・1! }・2 2 ・x 3 ・(x 3) 1 =(720/2・6)・4・x 3 ・x 3 =240x 6 (p, q, r)=(4, 0, 2)の時は となる。したがって求める係数は、1+240+240=481…(答え) このようになります。 複数回xが出てくると、今回のように場合分けが必要になるので気を付けましょう! また、 分数が入ってくるときもあるので注意が必要 ですね! 分数が入ってきてもp, q, rの組み合わせを書き出せればあとは計算するだけです。 以上のことができれば二項定理を使った基本問題は大体できますよ。 ミスなく計算できるよう問題演習を繰り返しましょう! 二項定理の練習問題③ 証明問題にチャレンジ! では最後に、二項定理を使った証明問題をやってみましょう! 難しいですがわかりやすく説明するので頑張ってついてきてくださいね! 問題:等式 n C 0 + n C 1 + n C 2 +……+ n C n-1 + n C n =2 n を証明せよ。 急に入試のような難しそうな問題になりました。 でも、二項定理を使うだけですぐに証明することができます! 解答:二項定理の公式でa=x、b=1と置いた等式(x+1) n = n C 0 + n C 1 x+ n C 2 x 2 +……+ n C n-1 x n-1 + n C n x n を考える。 ここでx=1の場合を考えると 左辺は2 n となり、右辺は、1は何乗しても1だから、 n C 0 + n C 1 + n C 2 +……+ n C n-1 + n C n となる。 したがって等式2 n = n C 0 + n C 1 + n C 2 +……+ n C n-1 + n C n が成り立つ。…(証明終了) 以上で証明ができました! "問題文で二項係数が順番に並んでいるから、二項定理を使えばうまくいくのでは?
東大塾長の山田です。 このページでは、 「 二項定理 」について解説します 。 二項定理に対して 「式が長いし、\( \mathrm{C} \) が出てくるし、抽象的でよくわからない…」 と思っている方もいるかもしれません。 しかし、 二項定理は原理を理解してしまえば、とても単純な式に見えるようになり、簡単に覚えられるようになります 。 また、理解がグッと深まることで、二項定理を使いこなせるようになります。 今回は二項定理の公式の意味(原理)から、例題で二項定理を利用する問題まで超わかりやすく解説していきます! ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください! 1. 二項定理とは? それではさっそく二項定理の公式について解説していきます。 1. 1 二項定理の公式 これが二項定理です。 二項定理は \( (a+b)^5, \ (a+b)^{10} \)のような、 2項の累乗の式「\( (a+b)^n \)」の展開をするとき(各項の係数を求めるとき)に威力を発揮します 。 文字ばかりでイメージしづらいかもしれません。 次は具体的な式で考えながら、二項定理の公式の意味(原理)を解説していきます。 1. 2 二項定理の公式の意味(原理) 順を追って解説するために、まずは\( (a+b)^2 \)の展開を例にとって考えてみます。 そもそも、多項式の展開は、分配法則で計算しますね。 \( (a+b)^2 = (a+b) (a+b) \) となり、 「1 つ目の \( (a+b) \) の \( a \) か \( b \) から1 つ、そして2 つ目の \( (a+b) \) の \( a \) か \( b \) から1 つ選び掛け合わせていき、最後に同類項をまとめる」 と、計算できますね。 \( ab \) の項に注目してみると、\( ab \) の項がでてくるときというのは \( a \) を1つ、\( b \) を1つ選んだときです。 つまり!
はじめの暗号のような式に比べて、少しは理解しやすくなったのではないかと思います。 では、二項定理の応用である多項定理に入る前に、パスカルの三角形について紹介しておきます。 パスカルの三角形 パスカルの三角形とは、図一のような数を並べたものです。 ちょうど三角形の辺の部分に1を書いて行き、その間の数を足していくことで、二項係数が現れるというものです。 <図:二項定理とパスカルの三角形> このパスカルの三角形自体は古くから知られていたようですが、論文としてまとめたのが、「人間とは考える葦である」の言葉や、数学・物理学・哲学など数々の業績で有名なパスカルだった為、その名が付いたと言われています。 多項定理とは 二項定理を応用したものとして、多項定理があります。 こちらも苦手な人が多いですが、考え方は二項定理と同じなので、ここまで読み進められたなら簡単に理解できるはずです。 多項定理の公式とその意味 大学入試に於いて多項定理は、主に多項式の◯乗を展開した式の各項の係数を求める際に利用します。 (公式)$$( a+b+c) ^{n}=\sum _{p+q+r=n}\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}$$ 今回はカッコの中は3項の式にしています。 この式を分解してみます。この公式の意味は、 \(( a+b+c)^{n}\)を展開した時、 $$一般項が、\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}となり$$ それらの項の総和(=全て展開して同類項をまとめた式)をΣで表せるということです。 いま一般項をよくみてみると、$$\frac {n! }{p! q! r! }a^{p}b^{q}c^{r}$$ $$左の部分\frac {n! }{p! q! r! }$$ は同じものを含む順列の公式と同じなのが分かります。 同じものを含む順列の復習 例題:AAABBCCCCを並べる順列は何通りあるか。 答え:まず分子に9個を別々の文字として並べた順列を計算して(9! )、 分母に実際にはA3つとB2つ、C4つの各々は区別が付かないから、(3!2!4!) を置いて、9!/(3!2!4! )で割って計算するのでした。 解説:分子の9! 通りはA1, A2, A3, B1, B2, C1, C2, C3, C4 、のように 同じ文字をあえて区別したと仮定して 計算しています。 一方で、実際には添え字の1、2、3,,, は 存在しない ので(A1, A2, A3), (A2, A1, A3),,, といった同じ文字で重複して計算している分を割っています。 Aは実際には1(通り)の並べ方なのに対して、3!
彼氏いる女子が、男友達と泊まりはOK? この問いには、こうお答えします。 「OK!ただし条件付きで」。 交際相手がいるからと言って、友達づきあいに制限がかかるのは窮屈ですね。 ただし、どんな理由があれ異性と「一晩を共にする」場合はよく考えて。 軽はずみな態度をとれば、当然パートナーの気分を害するハメに。 後々揉めないためには、どうしたらよいのか。 そのポイントをお伝えします。 アドセンス広告(PC&モバイル)(投稿内で最初に見つかったH2タグの上) 1. 家に泊まりにくる男友達の心理とは？関係性を崩さない上手な断り方を紹介 | Smartlog. 「やむを得ない」理由以外はNG 初めにハッキリ言ってしまえば、彼氏いる女子の泊まりは「やむを得ない」事情がない限り、後々トラブルになるので避けた方が無難です。 「電車の事故で帰れなくなった男友達を、放っておけなくて」 「家の鍵を落としてしまい、やむなく一番近い場所に住む男友達の家におじゃました」 など、 明確な理由があるのならOK 。 または「幼少からの幼馴染」とか「実家に泊めてもらったので、家族もいた」のように、完全に恋愛対象外と思われるようなケースであれば「彼氏いる」場合でもセーフです。 NGなのは、理由もなく宿泊したとか、たいして親しくもない間柄の男友達との泊まりの場合 。 これでは、後々彼氏にバレたときに言い訳がききません。 「二人の間には何もなかったよ」なんて言っても、信じてもらえないかも。 2. 眠るためだけに泊まる 不要なトラブルを避けるためには、「眠るため」だけの泊まりにとどめるようにして。 つまり、 男友達と二人で長時間楽しく過ごすのは避けるべき 、ということです。 彼氏いる身でありながら、 「せっかくだからゆっくりDVDでも観よう」 「泊めてもらったお礼に料理つくるね」 「近くの銭湯にでも行こうか」 などと、 まるで夫婦のように過ごすのはいけません 。 これでは泊まりを「楽しんでる」ようなもの。 彼氏にも、男友達にも誤解をあたえてしまいます。 家におじゃまする/あげるのは、眠る寸前がベスト、あくまで「睡眠をとる」ためと心得て。 3. 寝る部屋は別々に 間違いを起こさないためにも、寝る部屋は必ず別々にしましょう。 これは「彼氏いるから、彼に遠慮して」という理由だけではありません。 考えてもみてください。 普段いくら仲のいい男友達とはいえ、相手は男性なのです。 その気はなくても、 何らかの拍子に一線を越えてしまうことも、十分考えられますね 。 そうなれば、 あなたと彼の友情は当然壊れてしまいます 。 「男女の関係になるなんてこと、絶対にあり得ない」そう思いますか?
トピ内ID: 0311845354 nanako 2010年8月9日 02:47 男は別に恋愛感情がなくてもセックスできます。 男女の仲になったからといって、それが恋愛関係にシフトするとも言えません。 >せっかくのチャンスだったのに男女の仲になれば良かった。そういう風に始まる恋人だっているだろうに。 そうなると次は、「体の関係を持った責任で付き合ってくれたんだよね?」と疑心暗鬼になるでしょうね。トピ主さんなら。 告白せず先に男女の仲になったら、トピ主はそこで彼に「軽い女」の烙印が押されるでしょう。 後で告白しても、心の底ではトピ主は付き合ってない男と寝れる女だと思われ続けますよ。 あえて言います臆病者と!流されて楽になろうとするな!! 我慢した彼は理性的。 彼の為にも泊まりは自粛しましょう。 トピ内ID: 0488952375 😀 りんりん 2010年8月9日 02:51 今が一番楽しいってこと! お二人はつきあってる感じだと思いますよー 彼に聞いてみたらどうでしょう。 男女の仲なんていつでも出来るし、 そう何度も、もやもや出来るもんじゃないですよ。 トピ内ID: 1605996670 う~ん 2010年8月9日 02:57 私なら付き合ってもないのに 部屋に泊まるように誘ってくる時点で嫌ですね。 あなたも軽々しく泊まらないほうがいいなじゃない? 女性としての株が下がりますよ。 体の関係から始まった恋で成功した話を 聞いたことがありません。 一緒に寝ても手を出さないくらい奥手な彼なら あなたかた好きって言っちゃえばいいのに。 断られる可能性も大きいけど。 (彼が真面目で好きでもない女には手を出さない主義だった場合) トピ内ID: 7779125524 今後は気をつけて 2010年8月9日 03:07 こんにちは。 泊った時の彼の行動は正しかったと思います。 あなたもその時はそれほどまでに 思っていた訳ではなかったのですよね。 あなたは彼を好きですか? 男友達と泊まりはＯＫ？彼氏いる女子の「トラブル回避」の心得６つ | 恋愛up！. 友達でなく異性として。 彼もそう見てくれますか? まず気持ちを確認しましょう。 すべてはそれからですよ。 今後は独り暮らしの異性のところには 行かないのがいいと思います。 いらぬ誤解を招いたり、 軽く思われたりするかもしれませんからね。 トピ内ID: 4647370574 せみ 2010年8月9日 03:45 トピ主さんから告白しちゃえば良いと思います。 トピ内ID: 6403118282 葉月 2010年8月9日 04:38 トピ主さんは彼と恋人になりたいんですか?友達のままでいたいんですか?
と思う私もいて ちゃんと気持ちを伝えようと思った時、 彼から逆に告白されました! 彼も悩んでいて 彼が友達に相談したところ、 「男の所に女の子が泊まって、何もナイ!のは逆に失礼なんじゃ?」 と言われたらしく、 自分は付き合ってからじゃないと手は出せない。 そう思って告白してくれたそう。 私の彼と、トピさんの彼、似てるんじゃないかな?笑 安心して泊まりにいけるのも分かります。 手を出さないから女として見てないとは限りません。 彼は誠実な人、なんじゃない? 何度も泊まりに来るのに何もしてこない男友達大学生の女です。もともと仲の良... - Yahoo!知恵袋. 彼に自分の気持ちを伝えてみたら? うまくいく保障はナイが、一歩踏み出したら変わるかも! トピ内ID: 9913558083 空 2010年8月12日 04:54 そういう対象として意識しているとして、以下の展開があったんじゃないかと思います。 1.どっちかが告白して、行為 2.その場の流れで(ちゃんとした告白なしで)行為 3.相手の意思を無視して無理やり 4.何もない それで、結果は4でしたが、2とか3よりは良かったんじゃないかと。行為の後に、何かが始まる可能性もありますが、オーソドックスに手順を踏んでいくほうが、間違いはないです。ややこしい関係は疲れますよ。 3については、今回はその可能性もなかったにしろ、考えといたほうがいいです。下に書いている人もいますが、最近では「デートレイプ」という新しい概念で説明されています。部屋に上がった時点で合意の上じゃないか、という男性の意見も、女性側が「嫌」と考えればレイプになるわけです。 個人的には、男性の性を軽んじているという意味で、部屋に上がった女性に非がある気がします。手を出したら出したでレイプで、出さなかったら「草食系」呼ばわりで(草食系というのは、つまり「男らしくない」の言い換え)、若い男性は混乱してるんじゃないかと思います。 彼としても好意はあるけど、あまり温度は高くないんだと思います。 トピ内ID: 1218343229 あなたも書いてみませんか? 他人への誹謗中傷は禁止しているので安心 不愉快・いかがわしい表現掲載されません 匿名で楽しめるので、特定されません [詳しいルールを確認する]
友達以上の関係に発展させない為に 男友達が女性の家に泊まりに来ることを許してもまだ不安があるという方や、お互い友達のままで過ごしたいという気持ちが強いなら、関係を発展させないように予防線を張っておきましょう!
付き合ってない人と泊まることができないことを伝える 「彼氏じゃない男の人を家に泊まらせるなんて、絶対できないよ。」 と、真面目にお断りするのもおすすめです。 この方法は、あなたが男友達に異性としての好意を持っている場合も効果的。 無闇に男を家に泊まらせない、 誠実で真面目な女性だというアピール も同時に出来ちゃいます。 また、「〇〇君は、付き合ってない女の子の家でも泊まりに行く人なんだね…。」と残念そうに付け加える事で、さらなるゴリ押しを止める事もできますよ。 男友達から泊まりたいと言われた時は冷静になって関係性を考えよう。 家に泊まりに来ると言う男友達。 一体どういうつもりなのか、理由や心理がわからないと上手な対処法もとっさには思いつかないもの。 そして、どんな理由をつけていても 「泊まりO. 男友達 泊まり 何もない 抱きつく. K. =ベッドに誘うのもO. 」 と、都合よく解釈して、強引に事を進められてしまう可能性もあります。 「ただ疲れて寝るだけだから。」なんて言われても、そんな言葉を簡単に信用してはいけません。 一線を超えてもいいなら、泊める。絶対に身体の関係になりたくないなら、どんな理由であろうと毅然として断る。 男友達といつまでも良い関係でいたいのなら、はっきりとした態度で対応しましょう。
確かに、若い頃には節操なく複数の男性と寝てしまう女子だっていることはいますが、沢山(笑) トピ主さんはそういうタイプではないようにお見受けします。 女の子の方から促すなんて、という恥じらいも、特に間違ってはいないと思うし。 一応の覚悟をして行ったのに、 相手の男性は、あなたを大事にしているというより 単に「意気地がない」か「手を出す気がなかった」どちらかしかないでしょうね。 前者だとしても、私はすごく嫌だなあ。何だかがっかりしてしまって、撤退しますね。 草食男子撲滅!
たぶん慎重な2人なんでしょうね。 一晩手を繋いで一緒のベッドに眠るなんて、嫌いな人とはできませんよ。 彼がノーマルなら、きっと真面目な人なんでしょう。 色気のない話ばかりしてたので、彼もいっちゃっていいのか判断できなかったのでは? いきなり泊まって男女の関係もハードルが高いでしょうから、まずはキスからでいかが? 夜、人気のない道とか公園で2人で話しているときに、「この間ドラマでキスシーンがあって、すごく素敵だったの。そういえば暫くしてないなあ。キス。」 とか「この間泊めてもらったときに、しちゃえばよかったね。」とか、さらっとつぶやいてみるのは? 彼の部屋でもいいですけどね。一気に持ち込まれても覚悟しておいてね。 あとは彼にお任せです。 これで行動を起こさなかったら放置して、よいお友達のままでいましょうね。 トピ内ID: 8219604091 緑子 2010年8月9日 05:10 多分彼はあなたを女性として全く見ていないということです。 いや、、見れなかったかな? 手は繋いで寝たけどそれ以上は無かった。。 手を繋いだ時点でそれ以上!という気持ちになれなかったのでしょう。 同じベッドで寝て何もしてこないというのは彼にとってはあなたは女性では無いということです。 20代という年齢から考えてもありえない。 私の友人でもいます。。 男友達の部屋に2人っきりで泊まり、パジャマも借り、1つのベッドで寝て何も無かった。。。手さえも繋がなかった。 友達だからそれで当たり前! !と声を高らかにして言ってましたが。。。 体の関係を期待してないのなら同じベッドで寝ること自体がはしたない行為だと思いませんか?