→ 携帯版は別頁 《解説》 ■次のような直角三角形の三辺の長さについては, a 2 +b 2 =c 2 が成り立ちます.(これを三平方の定理といいます.) ■逆に,三辺の長さについて, が成り立つとき,その三角形は直角三角形です. (これを三平方の定理の逆といいます.) 一番長い辺が斜辺です. ※ 直角三角形であるかどうかを調べるには, a 2 +b 2 と c 2 を比較してみれば分かります. 例 三辺の長さが 3, 4, 5 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには, 5 が一番長い辺だから, 4 2 +5 2 =? =3 2 5 2 +3 2 =? =4 2 が成り立つ可能性はないから,調べる必要はない. 3 2 +4 2 =? = 5 2 が成り立つかどうか調べればよい. 3 2 +4 2 =9+16=25, 5 2 =25 だから, 3 2 +4 2 =5 2 ゆえに,直角三角形である. 三個の平方数の和 - Wikipedia. 例 三辺の長さが 4, 5, 6 の三角形が直角三角形であるかどうか調べるには, 4 2 +5 2 ≠ 6 2 により,直角三角形ではないといえる. 【要点】 小さい方の2辺を直角な2辺とし て,2乗の和 a 2 +b 2 を作り, 一番長い辺を斜辺とし て c 2 を作る. これらが等しいとき ⇒ 直角三角形(他の組合せで, a 2 +b 2 =c 2 となることはない.) これらが等しくないとき ⇒ 直角三角形ではない ■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい. (4組のうち1組が直角三角形です.) (1) 「 3, 3, 4 」 「 3, 4, 4 」 「 3, 4, 5 」 「 3, 4, 6 」 (2) 「 1, 2, 2 」 「 1, 2, 」 「 1, 2, 」 「 1, 2, 」 (3) 「 1,, 」 「 1,, 」 「 1,, 2 」 「 1,, 3 」 (4) 「 5, 11, 12 」 「 5, 12, 13 」 「 6, 11, 13 」 「 6, 12, 13 」 (5) 「 8, 39, 41 」 「 8, 40, 41 」 「 9, 39, 41 」 「 9, 40, 41 」 ■ 問題 次のように三角形の三辺の長さが与えられているとき,これらのうちで直角三角形となっているものを選びなさい.
+\! (2p_2\! +\! 1)(2q_1\! +\! 1) \\ &=\! 4(p_1q_2\! +\! p_2q_1) \\ &\qquad +\! 2(p_1\! +\! p_2\! +\! q_1\! +\! q_2\! +\! 1) を $4$ で割った余りはいずれも $2(p_1\! +\! 整数問題 | 高校数学の美しい物語. p_2\! +\! q_1\! +\! q_2\! +\! 1)$ を $4$ で割った余りに等しい. (i)~(iv) から, $\dfrac{a_1b_1+5a_2b_2}{2}, $ $\dfrac{a_1b_2+a_2b_1}{2}$ は偶奇の等しい整数であるので, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素である. (3) \[ N(\alpha) = \frac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\cdot\frac{a_1-a_2\sqrt 5}{2} = \frac{a_1{}^2-5a_2{}^2}{4}\] (i) $a_1, $ $a_2$ が偶数のとき. $4$ の倍数の差 $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (ii) $a_1, $ $a_2$ が奇数のとき. a_1{}^2-5a_2{}^2 &= (4p_1{}^2+4p_1+1)-5(4p_2{}^2+4p_2+1) \\ &= 4(p_1{}^2+p_1-5p_2{}^2-5p_2-1) となるから, $a_1{}^2-5a_2{}^2$ は $4$ の倍数である. (i), (ii) から, $N(\alpha)$ は整数である. (4) $\varepsilon = \dfrac{e_1+e_2\sqrt 5}{2}$ ($e_1, $ $e_2$: 偶奇の等しい整数)とおく. $\varepsilon ^{-1} \in O$ であるとすると, \[ N(\varepsilon)N(\varepsilon ^{-1}) = N(\varepsilon\varepsilon ^{-1}) = N(1) = 1\] が成り立ち, $N(\varepsilon), $ $N(\varepsilon ^{-1})$ は整数であるから, $N(\varepsilon) = \pm 1$ となる. $N(\varepsilon) = \pm 1$ であるとすると, $\varepsilon\tilde\varepsilon = \pm 1$ であり, $\pm e_1, $ $\mp e_2$ は偶奇が等しいから, \[\varepsilon ^{-1} = \pm\tilde\varepsilon = \pm\frac{e_1-e_2\sqrt 5}{2} = \frac{\pm e_1\mp e_2\sqrt 5}{2} \in O\] となる.
$x, $ $y$ のすべての「対称式」は, $s = x+y, $ $t = xy$ の多項式として表されることが知られている. $L_1 = 1, $ $L_2 = 3, $ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}$ で定まる数 $L_1, $ $L_2, $ $L_3, $ $\cdots, $ $L_n, $ $\cdots$ を 「リュカ数」 (Lucas number)と呼ぶ. 一般に, $L_n$ は \[ L_n = \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\] と表されることが知られている. 定義により $L_n$ は整数であり, 本問では $L_2, $ $L_4$ の値を求めた.
両辺の素因数分解において, 各素数 $p$ に対し, 右辺の $p$ の指数は偶数であるから, 左辺の $p$ の指数も偶数であり, よって $d$ の部分の $p$ の指数も偶数である. よって, $d$ は平方数である. ゆえに, 対偶は真であるから, 示すべき命題も真である. (2) $a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d$ のとき, $(a_2-b_2)\sqrt d = b_1-a_1$ となるが, $\sqrt d$ は無理数であるから $a_2-b_2 = 0$ とならなければならず, $b_1-a_1 = 0$ となり, $(a_1, a_2) = (b_1, b_2)$ となる. (3) 各非負整数 $k$ に対して $(\sqrt d)^{2k} = d^k, $ $(\sqrt d)^{2k+1} = d^k\sqrt d$ であるから, 有理数 $a_1, $ $a_2, $ $b_1, $ $b_2$ のある組に対して $f(\sqrt d) = a_1+a_2\sqrt d, $ $g(\sqrt d) = b_1+b_2\sqrt d$ となる. このとき, \[\begin{aligned} \frac{f(\sqrt d)}{g(\sqrt d)} &= \frac{a_1+a_2\sqrt d}{b_1+b_2\sqrt d} \\ &= \frac{(a_1+a_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)}{(b_1+b_2\sqrt d)(b_1-b_2\sqrt d)} \\ &= \frac{a_1b_1-a_2b_2d}{b_1{}^2-b_2{}^2d}+\frac{-a_1b_2+a_2b_1}{b_1{}^2-b_2{}^2d}\sqrt d \end{aligned}\] となり, (2) からこの表示は一意的である. 背景 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を 「体」 (field)と呼ぶ. 例えば, 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して「体」をなす. これを 「有理数体」 (field of rational numbers)と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は「体」の理論, 「体論」として展開されている. 平方数でない整数 $d$ に対して, $\mathbb Q$ と $x^2 = d$ の解 $x = \pm d$ を含む最小の「体」は $\{ a_1+a_2\sqrt d|a_1, a_2 \in \mathbb Q\}$ であることが知られている.
326 1988年6月1日発行 関連項目 [ 編集] 函館市青函連絡船記念館摩周丸 フローティングパビリオン羊蹄丸 鉄道連絡船 博物館船 外部リンク [ 編集] ウィキメディア・コモンズには、 八甲田丸 に関連するカテゴリがあります。 青函連絡船メモリアルシップ八甲田丸 (@hakkouda1) - Twitter 青森市港湾文化交流施設 - ウェイバックマシン (2002年2月4日アーカイブ分) みなとオアシスあおもり
3 函館市北方民資料館 函館市民会館,函館アリーナ H30. 4~H32. 3 (87KB) H30. 4~H30. 9 (33KB) ・平成28年度選定結果 (公募) 市立函館博物館 郷土資料館 合資会社水引アート工房清雅舎 H29. 3 (153KB) 函館市亀田青少年会館 一般社団法人はこだて子どもの広場を創る会 H29. 3 函館市青年センター 函館市青年サークル協議会グループ (50KB) 千代台公園弓道場 函館市弓道連盟 函館市消費生活センター 特定非営利活動法人函館消費者協会 函館市女性センター にっぽん生活文化楽会 (53KB) 梁川公園内交通公園施設 函館中央交通安全協会 函館市根崎生活館 函館市産業支援センター 公益財団法人函館地域産業振興財団 函館市勤労者総合福祉センター 公益社団法人函館市シルバー人材センター (51KB) はこだてグリーンプラザ 株式会社はこだてティーエムオー 函館市元町観光駐車場 函館市五稜郭観光駐車場 空港緑地志海苔ふれあい広場 田中潦風園・道南園芸コンソーシアム すずらんの丘公園 株式会社桔梗造園 白石公園 函館市恵山シーサイドパークゴルフ場 昭和公園 函館市南かやべ保養センター・函館市ホテルひろめ荘 道南温泉株式会社 (特例) - 都市公園 函館コミュニティプラザ Gスクエア 4 (64KB) (157KB) ・平成27年度選定結果 はこだてみらい館・はこだてキッズプラザ 「はこだてみらい館」および「はこだてキッズプラザ」指定管理者受託コンソーシアム H28. 10(予定) ~H33. 3 (424KB) ホテル恵風 H28. 4~H31. 3 (326KB) 青函連絡船記念館摩周丸 H28. 函館市青函連絡船記念館摩周丸. 3 (128KB) (289KB) 斎場,戸井斎場,椴法華斎場,南茅部斎場 株式会社 マルゼンシステムズ (129KB) 桟橋駐車場 駅前広場駐車場 (130KB) 南茅部地域教育施設等管理共同企業体 空港ふれあい菜園 株式会社 アキタ (127KB) 亀尾ふれあいの里 トピア米原 熱帯植物園 特定非営利活動法人 函館エコロジークラブ 恵山コミュニティセンター 縄文文化交流センター ・平成26年度選定結果 写真歴史館 H27. 3 (持ち回り会議) 椴法華高齢者福祉総合センター 社会福祉法人 函館市社会福祉協議会 H27. 4~H28.
3 青少年研修センター ワーカーズコープ茜 3 H27. 3 (257KB) 市民会館・函館アリーナ 函館市文化スポーツ振興財団・コナミスポーツ&ライフグループ 亀田福祉センター 東山墓園 株式会社田中潦風園 (202KB) 公民館・亀田公民館 (115KB) 地域交流まちづくりセンター NPOサポートはこだてグループ (114KB) 戸井ウォーターパーク 株式会社吉田事業所 総合福祉センター 日乃出いこいの家 職業訓練センター 旧イギリス領事館(開港記念館) 一般社団法人函館国際観光コンベンション協会 漁村センター 青果物地方卸売市場 アキタ造園株式会社 (元村,富浦,島泊,新八幡町,新浜町,銚子) 株式会社函館市椴法華振興公社 H27. 4~H29. 函館 市 青函 連絡 船 記念 館 摩周杰伦. 3 (古部,ポン木直,見日,黒鷲,尾札部,川汲,臼尻,大船,磯谷,望路,木直,安浦) (古部町内会,木直町内会,尾札部町内会,川汲町内会,臼尻町内会,大船町内会,磯谷町内会,南かやべ漁業協同組合) 8 社会教育施設等10施設 (重要文化財旧函館区公会堂,北方民族資料館,文学館,北洋資料館,芸術ホール,市民プール,千代台公園野球場,千代台公園陸上競技場,千代台公園庭球場,千代台公園) 南茅部青少年会館 安浦町内会 児童館 (美原・昭和・神山) 学校法人 野又学園 (269KB) 図書館 TRC函館グループ (262KB) 五稜郭公園 このページの本文とデータは クリエイティブ・コモンズ 表示 2. 1 日本ライセンスの下に提供されています。 本ページに掲載しているデータは、自由に利用・改変できます。 本ページに掲載しているデータを元に、2次著作物を自由に作成可能です。 本ページのデータを元に作成したものに、データの出典(本市等のデータを利用している旨)を表示してください。 本ページのデータを編集・加工して利用した場合は、データを元に作成したものに、編集・加工等を行ったことを表示してください。また、編集・加工した情報を、あたかも本市等が作成したかのような様態で公表・利用することは禁止します。 本ページのデータを元に作成したものに、第三者が著作権等の権利を有しているものがある場合、利用者の責任で当該第三者から利用の承諾を得てください。
4~R5. 3 (131KB) 函館市漁村センター 函館市漁業協同組合 函館市青果物地方卸売市場 函館青果管理株式会社 (132KB) 函館市北方民族資料館 函館市文学館 函館市夜間急病センター 公益社団法人函館市医師会 (89KB) - (持ち回り会議) ・令和元年度選定結果 函館市児童館 (富岡,昭和,神山) 学校法人野又学園 R2. 4~R7. 3 (213KB) 函館市若松町駐車場 R1. 11~R3. 3 (63KB) 函館市亀田交流プラザ ー (不選定) (88KB) 函館市民会館・函館アリーナ 函館市文化スポーツ振興財団・コナミスポーツグループ (119KB) (471KB) 都市公園(東部地区) 【138施設一括】 函館市公園管理コンソーシアム 都市公園(西部地区) 【76施設一括】 函館市東山墓園 株式会社田中 潦風園 函館市図書館 図書館流通センター・マルエイヘルシーサービス共同事業体 函館市公民館 函館市青少年研修センター 特定非営利活動法人ワーカーズコープ茜 箱館奉行所 (116KB) 函館しあわせ創造パートナーズ (554KB) 函館市戸井ウォーターパーク 一般財団法人函館市住宅都市施設公社 函館市地域交流まちづくりセンター NPOサポートはこだてグループ 函館市西桔梗野球場 函館軟式野球連盟 函館フットボールパーク 函館地区サッカー協会 函館市国際水産・海洋総合研究センター 一般財団法人函館国際水産・海洋都市推進機構 R2. 3 (92KB) 函館市函館山山麓観光駐車場 R2. 4~R4. 3 函館市水産物地方卸売市場 函館魚市場株式会社 (94KB) 都市公園(北部地区) 【153施設一括】 (61KB) ・平成30年度選定結果 函館市熱帯植物園 特定非営利活動法人函館エコロジークラブ H31. 4~H34. 3 (48KB) 函館市恵山コミュニティセンター 函館市ホテル恵風 株式会社椴法華振興開発 函館市縄文文化交流センター 一般財団法人道南歴史文化振興財団 ・平成29年度選定結果 (選定理由) 千代台公園・千代台公園野球場・千代台公園陸上競技場・千代台公園庭球場・函館市民プール H30. 4~H35. 3 (56KB) (138KB) 函館市老人福祉センター(湯川・谷地頭・美原) (54KB) H30. 4~H33. 3 (35KB) (41KB) (26KB) (小安中央・汐首東・瀬田来・弁才町・泊町・館町・原木) (小安町会・汐首町内会・瀬田来町内会・弁才町町内会・泊町町内会・館町町内会・原木二見町会) 7 (27KB) (日浦・尻岸内・中浜・女那川・古武井・御崎・柏野) (新八幡町・銚子) (古部・尾札部・川汲・臼尻・大船・磯谷・木直・安浦) (29KB) 函館市芸術ホール,函館市北洋資料館 (52KB) 函館市恵山海浜公園 恵山地域振興推進協会 (特例) 函館市旧イギリス領事館 (86KB) (36KB) 函館市営住宅,函館市特定公共賃貸住宅 H30.
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