2】【例2. 3】【例2. 4】 ≪3次正方行列≫ 【例2. 1】(2) 【例2. 1】 【例2. 2】 b) で定まる変換行列 を用いて対角化できる.すなわち 【例2. 3】 【例2. 4】 【例2. 5】 B) 三重解 が固有値であるとき となるベクトル が定まるときは 【例2. 4. 4】 b) 任意のベクトル (ただし,後で求まるベクトル とは1次独立でなければならない)を選び 【例2. 2】 なお, 2次正方行列で固有値が重解 となる場合において,1次独立な2つのベクトル について が成り立てば,平面上の任意のベクトルは と書けるから, となる.したがって となり,このようなことが起こるのは 自体が単位行列の定数倍となっている場合に限られる. 同様にして,3次正方行列で固有値が三重解となる場合において,1次独立な3つのベクトル について が成り立てば,空間内の任意のベクトルは と書けるから, これらが(2)ⅰ)に述べたものである. 1. 1 対角化可能な行列の場合 与えられた行列から行列の累乗を求める計算は一般には難しい.しかし,次のような対角行列では容易にn乗を求めることができる. そこで,与えられた行列 に対して1つの正則な(=逆行列の存在する)変換行列 を見つけて,次の形で対角行列 にすることができれば, を計算することができる. …(*1. 1) ここで, だから,中央の掛け算が簡単になり 同様にして,一般に次の式が成り立つ. 両辺に左から を右から を掛けると …(*1. 2) このように, が対角行列となるように変形できる行列は, 対角化可能 な行列と呼ばれ上記の(*1. 1)を(*1. 2)の形に変形することによって, を求めることができる. 【例1. 1】 (1) (2) に対して, , とおくと すなわち が成り立つから に対して, , とおくと が成り立つ.すなわち ※上記の正則な変換行列 および対角行列 は固有ベクトルを束にしたものと固有値を対角成分に並べたものであるが,その求め方は後で解説する. 1. 2 対角化できる場合の対角行列の求め方(実際の計算) 2次の正方行列 が,固有値 ,固有ベクトル をもつとは 一次変換 の結果がベクトル の定数倍 になること,すなわち …(1) となることをいう. 同様にして,固有値 ,固有ベクトル をもつとは …(2) (1)(2)をまとめると次のように書ける.
^ 斎藤 1966, 第6章 定理[2. 2]. ^ 斎藤 1966, p. 191. ^ Hogben 2007, 6-5. ^ つまり 1 ≤ d 1 ≤ d 2 ≤ … ≤ t i があって、 W i, k i −1 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 1 ⟩, W i, k i −2 = ⟨ b i, 1, …, b i, d 2 ⟩, …, W i, 0 = ⟨ b i, 1, …, b i, t i ⟩ となるように基底をとる 参考文献 [ 編集] 斎藤, 正彦『 線型代数入門 』東京大学出版会、1966年、初版。 ISBN 978-4-13-062001-7 。 Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8 関連項目 [ 編集] 対角化 スペクトル定理
2. 1 対角化はできないがそれに近い形にできる場合 行列の固有値が重解になる場合などにおいて,対角化できない場合でも,次のように対角成分の1つ上の成分を1にした形を利用すると累乗の計算ができる. 【例2. 1】 2. 2 ジョルダン標準形の求め方(実際の計算) 【例題2. 1】 (1) 次の行列 のジョルダン標準形を求めてください. 固有方程式を解いて固有値を求める (重解) のとき [以下の解き方①] となる と1次独立なベクトル を求める. いきなり,そんな話がなぜ言えるのか疑問に思うかもしれない. 実は,この段階では となる行列 があるとは証明できていないが「求まったらいいのにな!」と考えて,その条件を調べている--方程式として解いているだけ.「もしこのような行列 があれば右辺がジョルダン標準形になるから」対角化できなくてもn乗が計算できるから嬉しいのである.(実際には,必ず求まる!) 両辺の成分を比較すると だから, …(*A)が必要十分条件 これにより (参考) この後,次のように変形すれば問題の行列Aのn乗が計算できる. [以下の解き方②] と1次独立な( が1次独立ならば行列 は正則になり,逆行列が求まるが,そうでなければ逆行列は求まらない)ベクトル 条件(*A)を満たせばよいから,必ずしも でなくてもよい.ここでは,他のベクトルでも同じ結果が得られることを示してみる. 1つの固有ベクトルとして, を使うと この結果は①の結果と一致する [以下の解き方③] 線形代数の教科書,参考書には,次のように書かれていることがある. 行列 の固有値が (重解)で,これに対応する固有ベクトルが のとき, と1次独立なベクトル は,次の計算によって求められる. これらの式の意味は次のようになっている (1)は固有値が で,これに対応する固有ベクトルが であることから を移項すれば として(1)得られる. これに対して,(2)は次のように分けて考えると を表していることが分かる. を列ベクトルに分けると が(1)を表しており が(2)を表している. (2)は であるから と書ける.要するに(1)を満たす固有ベクトルを求めてそれを として,次に を満たす を求めるという流れになる. 以上のことは行列とベクトルで書かれているので,必ずしも分かり易いとは言えないが,解き方①において ・・・そのような があったらいいのにな~[対角成分の1つ上の成分が1になっている行列でもn乗ができるから]~という「願いのレベル」で未知数 を求めていることと同じになる.
まとめ 以上がジョルダン標準形です。ぜひ参考にして頂ければと思います。
}{s! (t-s)}\) で計算します。 以上のことから、\(f(\lambda^t)\) として、\(f\) を \(\lambda\) で \(s\) 回微分した式を \(f^{(s)}(\lambda)=\dfrac{d^s}{d\lambda^s}f(\lambda)\) とおけば、サイズ \(m\) のジョルダン細胞の \(t\) 乗は次のように計算することができます。 \[\begin{eqnarray} \left[\begin{array}{cc} f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda) & \frac{1}{3! }f^{(3)}(\lambda) & \cdots & \frac{1}{(m-1)! }f^{(m-1)}(\lambda) \\ & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda)& \cdots & \frac{1}{(m-2)!
ジョルダン標準形の求め方 対角行列になるものも含めて、ジョルダン標準形はどのような正方行列でも求めることができます。その方法について確認しましょう。 3. ジョルダン標準形を求める やり方は、行列の対角化とほとんど同じです。例として以下の2次正方行列の場合で見ていきましょう。 \[\begin{eqnarray} A= \left[\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ -3 & -2 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] まずはこの行列の固有値と固有ベクトルを求めます。計算すると固有値は1、固有ベクトルは \(\left[\begin{array}{cc}1 \\-1 \end{array} \right]\) になります。(求め方は『 固有値と固有ベクトルとは何か?幾何学的意味と計算方法の解説 』で解説しています)。 この時点で、対角線が固有値、対角線の上が1になるという性質から、行列 \(A\) のジョルダン標準形は以下の形になることがわかります。 \[\begin{eqnarray} J= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \end{eqnarray}\] 3.
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ご主人様と楽しい思いでこれからいっぱいつくっていこうね!!!!! トピ内ID: 2097959467 2011年11月29日 17:11 最新レスを拝見し、また来てしまいました・・・ 手術が無事に終わってよかったですね 先住猫ちゃんもワクチン接種されていたようで安心しました うちの2匹の愛猫も捨てられていました。 犬の散歩中に見つけたのですが、まだ目も開いていなくて しかも雨降りの日に、布も箱も全くなく草むらに2匹が捨てられていました 今まで色々な捨て猫を拾ってきましたが、あんなにひどい捨て方は初めてでした うちの2匹の猫は、私と飼い犬と共同で育てました 今は犬猫仲良く元気に暮らしています トラちゃんも、安心できる場所ができて本当に良かったです 私も、抜歯することで症状が緩和された例を聞いたことがあります トピ主さんの判断は賢明だったと思います トラちゃん頑張って!! トピ主さん、トラちゃんを救ってくれて、本当にありがとうございます。 トラちゃんは、ようやく幸せになるね。 あ~ダメだぁ~ 書いていて、また涙が…。 トピ内ID: 9087919192 すずねこ 2011年11月30日 02:42 本当にありがとうございます、トピ主さん。 トラちゃん、いい人に出会ったから、もう安心していいからね。 いっぱい愛情をかけてもらって、きっときっと元気になるんだよ。 少しでも長く、トピ主さんのもとで幸せに生きるんだよ。 かわいいトラちゃん、がんばれ!!
NY在住の猫好き医学博士、しんコロさんが読者からの質問にお答えする『 しんコロメールマガジン「しゃべるねこを飼う男」 』のQ&Aコーナー。今回はゴミを荒らすのをやめさせるという目的で、野良猫に餌付けをしてしまったことを悔やむ質問者さんからのご相談です。人間本位の考えで餌付けをするとかえって猫たちを不幸にしてしまうことを痛感し、懺悔する質問者にしんコロさんが授けた解決策とは?
トピ内ID: 9583234477 2011年11月29日 09:39 今日手術が終わったそうです。 喉もパンパンに腫れていたので、気道の確保が大変だったけど歯自体はすべて腐っていたのでぽろぽろと簡単にとれたそうです。 歯茎が裂けて骨が露出していた部分もあったそうで、全部縫って下さったそうです。 聞いているだけで口の中が痛くなります…。 野良猫って最後はこうやって死んでいくんだなぁ、と現実を目の当たりにしました。 猫は捨てちゃダメです。 このトピを見てくださる方にそんな方はいないので無意味かもしれませんが、不特定多数の人の見る掲示板ですので言わせてください。 あなたの捨てようとしている猫の末路はこうです。 これよりもっとむごい状態になるかもしれません。 お願いです。捨てないでください。 自分がアマゾンのジャングルに突然置き去りにされたら、どうしますか? 猫は野生動物ではありません。生きてはいけないのですよ。 経過を見て数日で退院だそうです。 病院は遠方で、仕事のある日は中々いけないのですが、一度お見舞いに行けたら行きたいと思っています。 暖かいレスをありがとう。 トラ、がんばれ!! トピ主のコメント(11件) 全て見る トピ主さま、お疲れさまです。 うちのお星になったエイズ子さんは抜歯をしました。 結果は大当たりでもくもくご飯が食べられるようになりましたしヨダレが激減しました。 ステロイドはやめられはしませんでしたが間隔はかなり開けられました。 効果は勿論個体差があると思いますが、獣医師さんが今ならまだ麻酔がかけられると言うのならやってみる価値があります。これから先もっと食べられなくなって体力が落ちたらもう麻酔もかけられなくなるかもしれません。 抜歯しても猫はごはんを丸呑み出来ます。 出来るだけ粒の小さい丸いつぶつぶを選んであげれば大丈夫です。 うちには今エイズではないけど原因不明の口内炎の酷かった14歳がいます。 抜歯しないでも歯は全部抜けてしまいました。 でも問題なくかりかりぼりぼり食べています。 歯がなくなったら歯肉の炎症が引いたので歯茎でぼりぼりやっているようです。 この子も歯がなくなってからの方がご飯は食べ易そうです。 どうか猫さんが少しでも快適に過ごせますように祈っています。 みかん 2011年11月29日 15:13 トラちゃん!痛いね… でもよく頑張ってるね!
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