三角錐の表面積と体積の求め方・公式・練習問題 こんにちは! 今回は 三角錐の体積と表面積の求め方 についてです。 三角錐の体積や表面積の問題はやり方がパターン化されていることが多いです。したがって、公式さえ覚えてしまえば簡単なんですよね。 しかし、三角錐の体積については微積と絡めて東大でも出題されているのですよ。 決して油断のできない単元であることもわかると思います。 ということで、この記事で三角錐の体積と表面積の求め方をマスターしてしまいましょう! 【中1数学】三角柱・四角柱の表面積の求め方がサクッとわかる | 映像授業のTry IT (トライイット). この記事では、最初に 公式や基本事項 を確認して、 公式の証明 を丁寧に解説し、最後に 練習問題 にトライします。 ぜひ最後まで読んで理解してくださいね! それではいきましょう! 三角錐とは何?基本事項を押さえよう! まず 三角錐とは何か を確認しておきましょう。 三角錐の定義は、 垂直断面が常に三角形になる錐体 です。 つまり、上から下に垂直に立体を切るとどこを切っても三角形になる錐体が三角錐であるということになります。 錐体(すいたい)というのは、 「空間内の一点から放射状に伸びる直線によって形作られる錐状の立体図形の総称」 です。 イメージとしては、ピラミッドや富士山などが挙げられます。 ピラミッド(四角錐に近い立体です) 富士山(円錐に近い立体です) とにかく 上が尖っている立体図形が錐体 であると考えてもらってOKです。 錐体の中で、垂直にスライスすると絶対に三角形になるものを、特に三角錐と呼んでいます。 定義では上のような説明になりますが、単純に 「底面が三角形だから三角錐」 と覚えても構いません。 また三角錐は、面が4、辺が6で構成されています。 面が4つで構成されているので、三角錐は 四面体 とも呼ばれています。 さらに三角錐には特殊なものもあります。 構成する面が正三角形、または垂直断面が常に正三角形になる三角錐を 正三角錐(正四面体) と呼びます。 正四面体についてもっと知りたければ、こちらを参照してください。 以上が三角錐の説明になります。では、次は 三角錐にまつわる公式 を確認していきましょう! 三角錐の体積・表面積の公式を確認しよう!
よって、求める表面積は ① + ② + ③ + ④ + ⑤ = 84 + 84 + 280 + 260 + 300 = 1008・・・(答) 3:三角柱の展開図 最後に、三角柱の展開図について学習しておきましょう! 三角柱の展開図はいくつかあるのですが、(どうやら42通りほどあるらしいです) 今回はその中でも一番シンプルな展開図を紹介 します。 例えば、以下のような三角柱ABC-DEFの展開図を書いて見ましょう! 展開図は以下のようになります。 以上の展開図が一番シンプルでわかりやすいと思います。 三角柱の展開図は難しく何ので、戸惑うことはないでしょう。 三角柱のまとめ いかがでしたか? 三角柱の体積・表面積の求め方と展開図が理解できましたか? 三角柱は数学ではよく登場するので、ぜひ理解しておきましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中! 三角柱の表面積の求め方. 最新情報を受け取ろう! 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者 ニックネーム:やっすん 早稲田大学商学部4年 得意科目:数学
それでは〜
母線は円錐のこの赤色の部分のことです! (1)次の円錐の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。 A. 96π($cm^3$)・表面積... 96π($cm^2$) 円錐の体積の公式は 「底面積 × 高さ × $\frac{1}{3}$」でしたね。 よって、式は $6×6×π×8×\frac{1}{3}=96π$ 円錐の体積は、 96($cm^3$) となります。 続いて表面積です。 円錐の表面積の公式は 「底面積 + 側面積」でしたね。 底面積は6 × 6 × π = 36π とすぐに出せますね。 続いて、 円錐の側面積の求め方は 「半径 × π(半径 + 母線)」でしたね。 よって、側面積の式は 6π(6 + 10)= 96π となります。 最後に底面積36πと側面積96πを足して、答えは 132π($cm^2$) となります。 (2)次の三角錐の体積と表面積を求めなさい。ただし、∠BCD=90°、三角形ABDの高さを8cm、三角形ABCの高さを10cm、三角形ACDの高さを6cmとする。 A. 三角柱の表面積の求め方 底面積と高さのみ. 16($cm^3$)・表面積... 55($cm^2$) 三角錐の体積の公式は 「底面積 × 高さ × $\frac{1}{3}$」でしたね。 なので、式は$3×4×\frac{1}{2}×8×\frac{1}{3}=16$ 三角錐の体積は 16($cm^3$) となります。 次に 三角錐の表面積の求め方は 「底面積 + 側面積」でしたね。 なのでまずは底面積を出して、あとは側面積をそれぞれ出して最後に全てを足してあげます。 まず底面積は$3×4×\frac{1}{2}=6$ また、それぞれの側面積ですが、 △ABC$=4×10×\frac{1}{2}=20$ △ABD$=5×8×\frac{1}{2}=20$ △ACD$=3×6×\frac{1}{2}=9$ よって三角錐の表面積は、6+20+20+9=55 答えは 55($cm^2$) となります。 3. 「球」の体積・表面積の公式 球 球の体積 = $\frac{4}{3}πr^3$ 球の表面積 = $4πr^2$ この公式ほんと覚えられないピヨね... よく言われている覚え方は、 ・ 球の体積... 3分の心配あーる参上 ・ 球の表面積... 心配あーる事情 という感じで語呂合わせで覚えるやつですね。 語呂合わせと気合いで覚えましょう。 次の球の体積と表面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。 A.
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では、ここでこれまで出てきた公式をおさらいしておきます。 では次に、体積の公式になぜ\(×\frac{ 1}{ 3}\)が必要なのか説明していくことにしましょう! 三角錐の体積の公式の証明 ここでは三角錐の体積の公式を証明してみましょう。 テーマは なぜ錐体の体積は\(×\frac{ 1}{ 3}\)する必要があるのか です。 結構証明が面倒なのですが、なるべく簡単に説明してみようと思います! この証明には、高校数学の 積分 を使うと楽に証明できます。 しかし、今回はそのほかのもっと簡単な方法で証明をしてみようと思います。 (証明) まず、特殊な錐体について証明をします。 少しテーマからずれますが、正四角錐で考えてみます。 図の左は正四角錐です。 一方で右図は、左の正四角錐を6つ組み合わせて作った立方体です。 このことをもとにして、まず右の立方体の体積を求めてみましょう。 一辺が\(2h\)の立方体ですので、\((2h)^3=8h^3\)になります。 で、左の正四角錐はこれを6で割ったものですので、正四角錐の体積は\(\frac{ 4}{ 3}h^3\)になりますね。 ということは、正四面体の体積は 底面と高さの積 を何倍すればいいのでしょう?
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結論 話に必要なのは、最終的にアクションを起こすための結論です。 これがはっきりしていないと、無駄な説明が長くなったり話のゴールが見えなくなったりします。 誰にどうしてもらうか等の要素も含め、結論を明確にしておくことで話の輪郭が掴めます。 2. 理由を説明する 結論に行き着くまでには、そこに必ず理由があるはずです。 単に結論として「〇〇をしたい」と言っても、それがなぜなのかがわからなければ相手を説得できません。 例えば、「A社から仕入れたい」ことを伝えたい時、理由として「品質がいいから」「コストパフォーマンスがいいから」といった理由を添えることにより、他に品質のよさとコストパフォーマンスを兼ね備えた会社はないか等、よりよい別案が出る可能性もあるでしょう。 3. 理由から結論に行き着く過程を整理する 上記の結論と理由について複雑な過程がある場合、その過程についても説明する必要があります。 「A社の製品は品質がいいのでA社から仕入れたい」時、品質がいいとどのようなメリットがあるのかを明示します。 例えば「品質がいいことで自社の商品の性能が上がる」等です。 この過程が複雑になるようであれば、その過程の中でも結論や理由を踏まえて組立てるのがおすすめです。 話の順序を押さえている 前述のように、話の順序を押さえることは、 より伝わる話し方のために重要 なポイントです。 物事の流れには、必ず順序があります。「A社から仕入れたい」ことを上司に承認してもらう場合、順序の一例として、 仕入れ先を見直している A社の製品を仕入れたい A社の製品の品質がいい 品質がいいと自社の商品の性能が上がる A社からの仕入れを承認してほしい といった流れがあります。 しかし、話す相手の理解度によっては、3.
時系列や会話の内容がバラバラ 説明が下手な人は、 頭の中で思いついたことをそのまま口に出してしまう ので、話の流れがぐちゃぐちゃになって要点が分からなくなります。 話の流れが前後したり、同じことを繰り返し言ったりするのは、説明が下手な人の代表的とも言える特徴です。 また、1つの話題からあちこちに話が飛ぶこともあり、聞き手は話についていけず混乱してしまいます。 説明下手な人の特徴2. 論理的ではなく、感情的に話している 主観が強く、何事も感情で判断しがちなタイプの人は、 客観的や論理的に話をするのが苦手 です。 物事を順序立てて説明することが難しく、自分の感情を中心に伝えようとするので、要点がなかなか上手く伝えられません。 どちらかというと、感受性が豊かな女性の方が論理的に話すのが苦手な傾向があるようですが、男性でも主観的に話しがちな人は多くいます。 【参考記事】はこちら▽ 説明下手な人の特徴3. 話すことが苦手です。頭で考えをまとめることができません - 現在成人してい... - Yahoo!知恵袋. 主語を抜いて話すことが多い 会話の中で主語が抜けると、 誰の話なのか、何について話しているのか 、聞き手に伝わりづらくなってしまいます。 聞き手は説明の途中で「これは誰のことを指しているんだろう」と度々疑問を抱くことになるので、話の内容に集中できません。 また、「これは誰のこと?」と確認を挟む手間も増え、聞き手を苛立たせてしまうこともしばしばあります。 説明下手な人の特徴4. 説明やプレゼンをする前に、言いたい趣旨をまとめていない 一番伝えたいことや結論を意識せずに説明を行うと、結局何が言いたいのか伝わらず、聞き手を困惑させてしまいます。 説明が下手な人は、事前に要点を整理できていなかったり、そもそも説明する内容を自分自身が理解できていなかったりする場合も。 伝えたい趣旨が曖昧 なままでは、説明やプレゼンが分かりにくいものになるのは当然です。 説明下手な人の特徴5. 同じことを復唱している 話の要点をあえて復唱するのは上手な伝え方の手法として有名ですが、大切でない部分を何度も繰り返すのは聞き手を間延びさせ疲労感を与えます。 要点のない話をダラダラと繰り返す、話が戻ってまた同じ話が始まる、というようなことも説明が下手な人の特徴です。 聞き手に対して、 要点を分かりやすく簡潔に伝えようとする意識が低い のが原因だと言えるでしょう。 説明下手な人の特徴6. 早口で話していて、聞き取りづらい どんなに論理的で要点が分かりやすい説明でも、早口で話されるとうまく聞き取れず頭に入ってきません。 聞き手は言葉を聞きとるだけで精一杯になるため、内容をスムーズに理解することができないのです。 説明が下手と言われる人の中には、普段から話すスピードが早い人や、 緊張や焦りが理由で早口になってしまう人 も少なくありません。 説明下手な人の特徴7.
『ビジネスでも、資格取得でもすごい効果! 現役東大生がこっそりやっている、頭がよくなる勉強法』 [著]清水章弘 [発行]PHP研究所 「結局、何が言いたかったのか」を忘れてしまう 勉強会に参加して、そのときは「へえ!」と思ったものの、あとで思い返すと、よく覚えていない……。上司がアドバイスをくれるのはいいけど、話が長すぎて、結局どこをどうしろと言いたかったのか、頭が混乱……。 誰でも、「話の内容が自分の頭に入っていない」「結局、要点がどこだったのか分からない」という経験をしたことがあるのではないでしょうか。 それが友人との雑談であれば問題はないのでしょうが、大事な話だったり、勉強会の最中だったら、困りますよね。 話を聞いているのに、なぜか頭に入ってこないということは、よくあります。 なぜでしょうか? じつは、私たちは、意外と人の話を聞いていないものなのです。もちろん、「聞いているつもり」ではいるのですが、実際には、右から左へ流れてしまっていることが多いのです。 たとえば、ニュース番組を見た後で、「今日のニュースは何があった?」と聞かれたら、すぐにパッとは出てこないものです。 あるいは、項目だけは出てきても、細かい点になると、うろ覚えだったり……。 聞いているようで、聞いている「つもり」になっていることが、とても多いのです。 講演のあとで、要点を3つにまとめられますか?
会話を組み立てて話せていない 特に主観的で感受性が豊かなタイプの人は、物事を順序立てて論理的に伝えるのが苦手です。 思いついたことをそのまま話してしまう ので、話の内容が前後したり、いきなり別の話題に飛んだりして分かりにくくなってしまいます。 話の流れに一貫性がなく、要点が掴みにくいため、話が分かりにくい印象を強く与えてしまうのです。 デメリットが多い?説明が下手な人の短所を紹介 「物事を説明するのが苦手」「自分の考えを上手に表現できない」という人は、仕事はもちろん、プライベートでも損をしがち。 話が上手く伝わらないことで、具体的にはどのようなデメリットがあるのでしょうか。 ここでは、 説明が下手な人の短所 を解説します。 短所1. 自分の意見や考えを相手にしっかり伝えられない 自分の真意や本当の気持ちを上手に伝えられないのは、仕事でもプライベートでも大きな損です。 例えば、他人と意見がぶつかった時など、自分の気持ちをしっかり言葉で説明できなければ、 誤解されたり受け流されたりしてしまう 可能性があります。 また、分かりにくい説明は聞き手にストレスを与えるため、会話に悪い印象を持たれることも少なくありません。 短所2. 会社の場合、仕事ができない印象を抱かれやすい 正確な説明ができる、自分の考えを分かりやすく伝えられる、というのは社会人として求められるスキル。 上司や先輩から「説明下手で何を言っているのか分からない」と思われると、仕事ができないイメージを抱かれやすくなります。 コミュニケーション能力に不安があると判断されれば、営業先に連れていけない、新しいプロジェクトを任せられないなどと、 仕事のチャンスを失う可能性もある のです。 短所3. 何度も説明するため、時間を無駄にしやすい 一度の説明で上手く伝わらなければ、もう一度説明を求められることになります。 限られた仕事の時間を説明のために費やしてしまう のは、自分と聞き手の双方にとって時間のロスです。 時間に余裕がある時なら、多少分かりにくくても丁寧に対応してもらえるかもしれませんが、忙しい時に要点のハッキリしない説明をすると、相手を苛立たせてしまうこともあるでしょう。 説明が下手なのを改善して上手くなる方法とは ここでは、 説明が下手なのを改善して話が上手くなる方法 をレクチャーします。 これからご紹介するいくつかのポイントを意識することで、話し上手な人にグッと近付けるはずです。 日常会話の中で練習やトレーニングを重ねて、プレゼン力の向上を目指しましょう。 克服法1.
本を読んでも結局、何が言いたかったのかすぐ忘れる、講演の内容が頭に入らない……なんていう方は多いのではないでしょうか。 東京大学在学中、体育会ホッケー部に所属する傍ら、勉強のやり方や時間の使い方を含めた「学ぶ力」を育てる学習塾・プラスティーを設立。 若手起業家として注目を集め、大学院にて教育学を研究しつつ、雑誌への寄稿、全国の学校での講演など、多岐にわたる活動を行なっている清水章弘氏に学んだことをムダにせず、うまく自分の知識にするための勉強法を伺いました。 本稿は『現役東大生がこっそりやっている、頭がよくなる勉強法』より一部抜粋・編集したものです。(イラスト:久保久男) 聞いた話を「ひとこと」でまとめるクセをつける 勉強会に参加して、そのときは「へえ!」と思ったものの、あとで思い返すと、よく覚えていない……。上司がアドバイスをくれるのはいいけど、話が長すぎて、結局どこをどうしろと言いたかったのか、頭が混乱……。 誰でも、「話の内容が自分の頭に入っていない」「結局、要点がどこだったのか分からない」という経験をしたことがあるのではないでしょうか。 それが友人との雑談であれば問題はないのでしょうが、大事な話だったり、勉強会の最中だったら、困りますよね。 話を聞いているのに、なぜか頭に入ってこないということは、よくあります。 なぜでしょうか? じつは、私たちは、意外と人の話を聞いていないものなのです。もちろん、「聞いているつもり」ではいるのですが、実際には、右から左へ流れてしまっていることが多いのです。 たとえば、ニュース番組を見た後で、「今日のニュースは何があった?」と聞かれたら、すぐにパッとは出てこないものです。 あるいは、項目だけは出てきても、細かい点になると、うろ覚えだったり……。 聞いているようで、聞いている「つもり」になっていることが、とても多いのです。 講演のあとで、要点を3つにまとめられますか?