質問日時: 2008/09/25 05:21 回答数: 3 件 振り子の等時性についての質問です。 振り子の振幅が小さいときに、単振動近似で振り子の長さによらず振り子の周期が一定だということまではわかるのですが、振幅が大きくて単振動近似が使えないときに、振り子の周期と振り子の長さの関係はどうなるのでしょう。 一応運動方程式をたてて計算してみたのですが、途中でどうしても積分が解けなくなってしまって……。 振り子の等時性は、単振動近似が使えないような振幅が大きい時でも、成り立つのですか? No. 一般財団法人日本情報経済社会推進協会（JIPDEC）. 3 ベストアンサー 運動方程式は (d/dt)^2 θ = - (g/l) sinθ ですね(各文字の意味は自明)。単振動近似では sinθ≒θ として上式を解きますが、 |sinθ| <= |θ| なので、一般の場合には単振動の場合に比べて復元力が弱くなり、その結果として周期は長くなります。長くなる割合は、典型的な角度をφとすると(運動方程式の右辺を -(g/l)(sinφ/φ)θ として) √(φ/sinφ) - 1 の程度であると概算されます。あるいはここで sinφ≒φ-φ^3/6 として φ^2/12 が得られます。具体的な値としては、φ = π/4 (45度)の場合に約5%です。 0 件 この回答へのお礼 あ、|sinθ| <= |θ|だからそりゃ復元力は弱くなりますよね。 ありがとうございました。 今度#2さんがおっしゃったように実験して確かめてみます。 お礼日時:2008/09/27 00:52 No. 2 回答者: htms42 回答日時: 2008/09/25 07:47 振り子の等時性と言うのは「振幅によらず周期が一定」ということですね。 これが成り立つかどうか、 成り立たないとしたらどれくらいの角度からずれが目立ってくるか、 ずれるとしたらどちらにずれるか、 ・・・ 錘を糸につけてやってみればわかります。 L=1.00mで周期は2.0秒です。(周期の式に数値を代入すれば出てきます。) 角度を変えて周期を測定してください。10往復の時間を計って10で割れば普通の時計でも周期が分かります。 これを角度を変えてやればいいです。 15°、30°、45°、60°とやれば知りたい所はわかります。 後でもっと角度の小さいところを調べるといいでしょう。 式が解けなくてもやってみればわかります。 角度が大きくなった時に周期が2秒よりも長くなるか、短くなるかがあらかじめ予想できているといいですね。どういう力が働いているかが分かると予想できます。 実験なら誤差の方が大きいかと思ってやってませんでした。 ためしてみますね。ありがとうございました。 お礼日時:2008/09/27 00:48 No.
ねらい ガリレオ・ガリレイがふりこの等時性を発見した過程に興味・関心をもつ。 内容 ふりこの動きには決まりがあります。ヒモの長さを短くすると、ふりこの動きは速くなり、長くすると、ふりこの動きは遅くなります。でも、長さを一定にすると、ふれはばを大きくしても小さくしても、往復する時間は同じです。このことを発見したのは、16世紀の科学者、ガリレオ・ガリレイです。1583年のある日の夕方、ガリレオはピサの大聖堂に入りました。中は薄暗く、あかりを灯されたばかりのランプが大きくゆれていました。何気なく、ゆれるランプを見ていたガリレオですが、ふと気づいたのです。大きくゆれるのと小さくゆれるのと、ランプが往復する時間は変わらないようだ。手首の脈を取り、時間を測ってみると、やはり脈の数はほぼ同じだったのです。「ふりこの往復する時間は、ふれはばとは関係ない。」ふりこのきまりを発見したのは、この時だといわれています。 ガリレオが発見したふりこの等時性 16世紀の科学者、ガリレオ・ガリレイが、ふりこのきまりを発見しました。
4 「等時性」が成り立っているかを調べる 振幅が である単振り子の周期は ( が 0 から に変化するのに要する時間の 倍だから) ただし は を母数とする第1種完全楕円積分である: これと単振動の周期 との比 を具体的に計算してみよう。 つまり でほぼ% しかずれていない。 さすがに になると% ほどずれている。 であるから ( 10) のとき、 であるから、. あまり良い近似でないかな? 振り子の等時性 発見. (もう1項くらい取れば…)。 図 5 は、 これをグラフにしたものである。 はあまり現実的な振り子の運動と言えないから、 の場合のみ注目すると、 振り子の等時性はほどほどの精度で成立する、と言えそうである。 (振り子の等時性が成り立たないことは実験してみれば分かる、 という人がいるけれど、 かなり真剣に取り組まないとはっきりしないのではないか? と思う。) 図 5: 振り子の等時性: 振幅で周期がどう変るか 桂田 祐史 2017-08-11
039973 f(90) [1] 1. 180341 つまり,±45度まで振ると周期は4%伸び,±90度までだと18%伸びる。 0度から90度までの周期の相対値をプロットしてみよう。 x = 0:90 plot(x, f(x), type="l", xlab="振幅(度)", ylab="周期")
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