( a=0 のときは,見れば分かる: 0x 2 +x+2=0 すなわち,1次方程式 x+2=0 には,実数解が1つある.) 下記の問題3参照↓ (♪) 3次以上の高次方程式にも判別式というものを考えることができるが高校では扱わない. すなわち,解と係数の関係からは, α + β =−, αβ = より ( α − β) 2 =( α + β) 2 −4 αβ =() 2 −4 = = が成り立つから α = β ⇔ D=0 が成り立つ.この話が3次以上の場合に拡張できる. (♪) 最初に学んだときに,よくある間違いとして, を判別式だと思ってしまうことがある. これは初歩的なミスで,判別式は 根号の中の部分 ,正しくは D=b 2 −4ac なので,初めに正しく覚えよう. [例題1] 次の2次方程式の解を判別せよ. 2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つ条件は「は・じ・き」 ｜ 数学の偏差値を上げて合格を目指す. (1) x 2 +5x+2=0 (答案) D=5 2 −4·1·2=17>0 だから「異なる2つの実数解をもつ」 (2) x 2 +2x+1=0 (答案) D=2 2 −4·1·1=0 だから「重解をもつ」 (※ 単に「重解をもつ」でよい.) (※ D=2 2 −4·1·1=0 =0 などとはしないように.重解のときは D の 値 とその 符号の判断 は同時に言える.) (3) x 2 +2x+3=0 (答案) D=2 2 −4·1·3=−8<0 だから「異なる2つの虚数解をもつ」 ※ 以上のように,判別式の「値」がいくらになるかということと,それにより「符号がどうなるのか( <0, >0 の部分 )」という判断の2段階の根拠を示して,「2つの異なる実数解」「実数の重解」「2つの異なる虚数解」をいう. (重解のときだけは,値と符号が同じなので1段階) [例題2] x 2 +5x+a=0 が重解をもつように定数 a の値を定めよ. (答案) D=5 2 −4a=0 より, a= 2次方程式が ax 2 +2b'x+c=0 ( a ≠ 0 )の形をしているとき(1次の係数が偶数であるとき)は,解の公式は と書ける.これに対応して,判別式も次の形が用いられる. D'=b' 2 −ac 実際には,この値は D=b 2 −4ac の になっているので とも書く. すなわち, =b' 2 −ac [例題3] x 2 +2x+3=0 の解を判別せよ. (答案) D'=1 2 −3=−2<0 だから「異なる2つの虚数解をもつ」 ※ この公式を使えば,係数が小さくなるので式が簡単になるという利点がある.
3次方程式 x^3+4x^2+(a-12)x-2a=0 の異なる解が2つであるように、定数aの値を定めよ。 教えて下さい。 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ 2次方程式の x^2-2ax+a+2=0 が2つの異なる実数解を持つときのaの値の範囲を求める場合なら、 D/4=a^2-a-2>0 =(a-2)(a+1)>0 a=2、-1 で、 a<-1、a>2 が答えですよね? 3次方程式になると分からなくなってしまいました。 教えて頂けないでしょうか? 3次方程式x^3+4x^2+(a-12)x-2a=0の異なる... - Yahoo!知恵袋. 与式を因数分解して、1次式×2次式にしてから考えるといいと思います。 与式=f(x)と置きます。f(2)=0となるので、f(x)は(x-2)を因数に持っていますから、 与式=(x-2)(x^2+6x+a)=0 となり、与式の一つの解は2です。 異なる解が二つということは、2項目のx^2+6x+a=0が重解を持つか、因数分解して(x-2)の因数を一つ出す場合です。 x^2+6x+a=0 が重解を持つ場合 (x+3)^2+a-9=0 より a=9 x^2+6x+a=0の因数に(x-2)が含まれている場合 (x-2)(x+b)=x^2+6x+a x^2+(b-2)x-2b=x^2+6x+a より b-2=6 …① -2b=a …② より b=4、a=-8 答え:a=-8 または a=9 1人 がナイス!しています ThanksImg 質問者からのお礼コメント ありがとうございました! お礼日時: 2013/8/25 17:43 その他の回答(2件) shw_2013さん X=p+q-4/3 A=(3a-52)/9 a=(9A+52)/3 p^3+q^3-10(27A+100)/27=0 pq=-A p^3, q^3を解にもつ2次方程式 λ^2-10(27A+100)/27λ-A~3=0 判別式D=4/729×(9A+25)(9A+100)=0 A=-25/9, -100/9 A=-25/9のとき a=9 (x-2)(x+3)^2=0 x=2, -3 A=-100/9 のとき a=-16 (x-2)^2(x+8)=0 x=2, -8 で条件を満たす 書き込みミスを訂正する。 先ず、因数分解できる事に気がつかなければならない。 (x^3+4x^25-12x)+a(x-2)=(x)(x-2)(x+6)+a(x-2)=0 (x-2)(x^2+6x+a)=0になるから、x-2=0だから、次の2つの場合がある。 ①x^2+6x+a=0が重解をもち、それが2と異なるとき、 つまり、判別式から、9-a=0で4+12+a≠0の時。 この方程式は(x+3)^2=0となり適する。 ②x^2+6x+a=0がx=2を解に持つとき。このとき、a=-16となり、この方程式は(x+8)(x-2)=0となり適する。
■解説 ◇判別式とは◇ 係数が実数であるような2次方程式 ax 2 +bx+c=0 から虚数解が出てくることがある.その原因はどこにあるのかと考えてみると・・・ ○ 2次方程式の解の公式 x= において,「係数 a, b, c が実数である限り」青色で示した箇所 2a, −b からは虚数は出てこない. = i のように 根号の中 が負の数のときだけ虚数が登場する. ○ また, x= = のように, 根号の中 が 0 のときは, 2つの数に分かれずに,重なって1つの解になる(重解という). ○ 根号の中 が正の数になるときは,2つの実数解になる. ● 以上のように,2次方程式がどのような種類の解を持っているか(「2つの異なる実数解」「実数の重解」「2つの異なる虚数解」)は, 根号の中 の式 b 2 −4ac の符号で決まる. ● 2次方程式の解の公式における根号の中の式を,判別式と呼び D で表わす.すなわち 【 要約 】 ○ 係数が実数である2次方程式 ax 2 +bx+c=0 ( a ≠ 0 ) について D=b 2 −4ac を 判別式 という. ○ D>0 のとき, 異なる2つの実数解 をもつ D=0 のとき,(実数の) 重解 をもつ D<0 のとき, 異なる2つの虚数解 をもつ (※ 単に「 実数解をもつ 」に対応するのは, D ≧ 0 である.) (補足説明) 「係数が実数であり」かつ「2次方程式」であるときだけ,判別式によって「2つの異なる実数解」「実数の重解」「2つの異なる虚数解」の判別ができる. 異なる二つの実数解を持つ条件 ax＾２＝b. (♪) 2次方程式の解の公式は,係数が複素数のときでも適用できる,例えば x 2 +ix+1=0 の解は, x= = になり, 元の係数が虚数の場合,根号以外の部分からも虚数が登場する ので,根号の中の符号を調べても「解の種類は判別できない」. (♪) x 2 の係数が 0 になっている場合(1次方程式になっているもの)には判別式というものはないので, x 2 の係数が 0 かどうか分からないような文字になっているとき,うっかり判別式を使うことはできない.たとえば, ax 2 +(a+1)x+(a+2)=0 の解を判別したいとき,いきなり判別式は D=(a+1) 2 −4a(a+2) … などとしてはいけない.1次方程式には判別式はないので,この議論ができるのは, a ≠ 0 のときである.