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積分に関しても同様です。 \(\displaystyle \int f(x)dx\) と書かれた場合は、関数\(f(x)\)を\(x\)で積分するという意味です。 積分の最後についている\(dx\)の記号によって、なにで積分するのかを明示しています。 口頭では、\(ax^2\)を積分すると\(\frac{a}{3}x^3\)であるなどという言い方があるので、 こういった表現にも注意しましょう。 この場合は、「\(x\)で」積分した場合です。 ちなみに、「\(a\)で」積分すると\(\frac{x^2}{2}a^2\)となります。 上記を式で書くと \(\displaystyle \int ax^2 dx = \frac{a}{3}x^3 +(積分定数)\) \(\displaystyle \int ax^2 da = \frac{x^2}{2}a^2+(積分定数) \) です。 記号\( dx, da \)の部分に注意して見てください。 「微分する」とは
小さく分けたものを集める。一体何が求まるのか。 面積・体積 四角形や円柱の求め方は?? 四角形の面積=縦×横 円柱の体積 =底面積×高さ 面積や体積は小学生の頃から求めていますし、馴染み深いと思います。 しかし、これはどうですか?? 難しくないですか。 しかし、このドンキー樽、底面積(円の面積)なら求めることができます。 そこで円を薄い円盤の集まりと考えて、細かくきりわけて考えます。 そして、後で集めます。 ドンキー樽の求め方 円の面積×厚み=ドンキー樽の体積 ドンキー樽を1cmごとに切り分けたグラフ 縦軸:円の面積 横軸:高さ(cm) 直線ではなく放物線にしたかった・・・。 この塗られている部分の面積を求めれば、体積が求まります。 これが積分です!! 積分とは? 面積 や 体積 を求めることです!! では面積がわかればどういったことに応用できるのか?? 次の2つを紹介します。 ロケットの距離 医療のCTスキャン ①ロケットの距離 1秒で16m/s速度が加速するロケットが発射してから8秒後の走行距離は?? 微分積分の概念を小学生でもわかりやすく捉えるには | 数学の星. 少し難しい問題ですが、次のグラフを見ればわかりやすいです。 縦軸:速度(m/秒) この関数の式は\(y=16x\) この塗りつぶしている所を求めれば、8秒後の距離になります! \(128×8÷2=512\)m ちなみにこの関数を積分すれば、 このようなグラフになり、 x秒後 にロケットがどこにあるのかもわかります。 この関数の式は\(y=8x^2\) x=8を代入すれば、 \(8×8×8=512\)m 8秒後に512m走行しています。 余談 宇宙第一速度は8km/s と言われており、地球の周回軌道に乗るための速度と言われています。 またアメリカ空軍は 地上から80kmで宇宙 と定義しています。 加速16m/sロケットの場合 このロケットの場合、 \(8000÷16=500\) 宇宙第一速度に達するためには、 500秒 かかります。 しかし、真上に向けてロケットを飛ばせば、宇宙まで80km。つまり80000m。 \(80000=8x^2\)で \(x=100\) 100秒後 には宇宙まで到達してしまう。 100秒後のロケットの速度は \(100×16=1600=1. 6km\) 速度は 1. 6km/s で, 第一宇宙速度 8km/s になっていないため落下してしまう。 このような理由から、ロケットは斜めに飛ばし加速しているそうです!
これは、僕の解釈だと 「変化の度合い」 であり 「動く点の瞬間的な進行方向」 です。当時ならった 微分の表記法「dy/dx」 ですが、あれは瞬間的な変化の度合いを測定しようとしていたんだと思います。 これをビジネスで例えるなら、コンサルタントがつくる市場分析や競合分析などのスライドは、ある時点でのスナップショットに過ぎませんが、スナップショットを連続的に観察していった時、短期間で変化量の大きな企業があったら、その企業は 加速度的に急成長している証拠 です。 急成長企業に転職を考えている人にも、有効な考え方だと思います。 この 微分的な考え方 については、こちらのブログに書いてました。 僕がこの記事で言いたかったのは、 市場における「微小な時間の微小な変化」= 加速度に注目しようね、という話です。 ちょっと見ない間に急成長する企業がいて、それこそがNEXTユニコーン企業の候補なので。 ちなみに、微分についてはMachine Learningでは常に必須です。 ・グラフ上にどう直線を引いたらデータを最も綺麗に分類できるか(傾きを求める) ・関数のパラメーターを変化させながら最適値を探る「確率的勾配降下法」 ということで、今日は以上です。 また気づきがあったら共有させてください。
(強がり) 上の説明の流れをもう一度整理してみると、 微分することによりより瞬間的な状況を数値化することができる ことが分かりました。微分は「微(かす)かに分ける」と書きます。限りなく小さく切り分けることで、瞬間的な状況を数値化することができる計算手法が微分というわけです。 物理学で使われる「速度」を微分することで「加速度」が求まる根拠も、ここで紹介した平均変化率から微分係数を求めるまでの流れが理解できれば、納得がいくはずです。 多くの分野に利用される微分法の根本的な考え方に触れることで、解析ソフトで導き出した結果を鵜呑みすることなく検証し、数値を利用できるようになれたら嬉しいですね。 大好評!サルでも分かるシリーズ 統計学の知識を分かりやすく解説している「サルでも分かるシリーズ」もぜひ参考にしてみてください。 図解を駆使し、数式を必要最低限に抑えています。数学が苦手な方こそ読んでみてください。
突然ですが、「あなたの未来は微分・積分で予測できる(出来ている)」といわれたらどう思いますか?訳が分からない・・・そもそも数学なんて社会に出たらほとんど役に立たないんじゃないの?と思っている方が大多数だと思います。 でもたとえば ↓ これって不思議じゃないですか・・・ 今年は今世紀最大の流星群を見るチャンス。 どうやら今夜は今世紀最大に夜空に降り注ぐ流星群を見るチャンスとのこと。空気も澄んできた初冬。その南東の空から流れ星はやってくるらしい。新月で周りは暗く観測には絶好のチャンス。 近くの丘に登って平らな場所を見つけてシートを敷き、あったかいダウンをまとって寝転んでどこを見るわけでもなく、ただ空を見上げていると間もなく視界に尾を引いて輝く星が!消えないうちにお願いを言わないと・・・・そう思っているいるうちに次の流れ星が!!