タイプ: 教科書範囲 レベル: ★ このページは数列の一番最初のページで,等差数列の一般項と和の基本概念を解説します. 等差数列の導入と一般項 数列の中で,差が等しい数列のことを等差数列といいます.その等しい差を 公差 といい,英語でdifferenceというので,よく $d$ と表します.以下の図のようになります. $n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の 一般項 になります. $a_{n}$ を求めるには,上の赤い箇所をすべて足せばいいので,等差数列の一般項は以下になります. ポイント 等差数列の一般項 (基本) $\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ しかし,$a_{n}$ を求めるために,わざわざ $a_{1}$ から足さねばならない理由はありません. 上の図のように,途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から足し始めてもいいわけです.間は $n-k$ 個なので,一般項の公式を書き換えます. ポイント 等差数列の一般項(途中からスタートOK) $\displaystyle \boldsymbol{a_{n}=a_{k}+(n-k)d}$ ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます. $k=1$ を代入したのが,$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ になります.例えば $7$ 番目がわかっている場合は,$\displaystyle a_{n}=a_{7}+(n-7)d$ を使えば速いですね. 等差数列の和 次に等差数列の和ですが,$d>0$ のときに和がどうなるかを図示してみます. 高さが数列になっていて,横の長さが $1$ の長方形を最初から並べました. この総面積が等差数列の和になるはずです.これを求めるためには,同じものを上に足して2で割ればいいはずです. 等差数列の一般項の求め方. 長方形の面積 $(a_{1}+a_{n})n$ を出して $2$ で割ればいいので,等差数列の和の公式は以下になります( $d < 0$ のときも同じでしょう). 等差数列の和 $S_{n}$ $S_{n}=\dfrac{1}{2}(a_{1}+a_{n})n$ 管理人は, $\{$ (初めの数) $+$ (終わりの数) $\} \times$ (個数) $\div 2$ という中学受験の公式が強く印象に残っていて,公式はこれのみで対応しています.
ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。つまり、 S = 1 + 3 + 5 + 7 +9+11+13+15+17① S =17+15+13+11+9+ 7 + 5 + 3 + 1 ② ①と②の縦にそろっている数(1と17、3と15など)の和がすべて18になっているのに気づきましたか? ①+②をすると、 2S =18+18+18+18+18+18+18+18+18 =18×9 となるのがわかります。この18×9とはつまり、 [初項と末項を足した数]×[項数] です。 つまり、この数列では、 2S = [初項と末項を足した数]×[項数] ∴S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数]) となるわけです。 そして、この「S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数])」はすべての等差数列で使えます。一般化した例で考えてみましょう。 ※この説明は「... 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。
一般項の求め方 例題を通して、一般項の求め方も学んでみましょう! 例題 第 \(15\) 項が \(33\)、第 \(45\) 項が \(153\) である等差数列の一般項を求めよ。 等差数列の一般項は、初項 \(a\) と公差 \(d\) さえわかれば求められます。 問題文に初項と公差が書かれていない場合は、 自分で \(a\), \(d\) という文字をおいて 計算していきましょう。 この数列の初項を \(a\)、公差を \(d\) とおくと、一般項 \(a_n\) は以下のように書ける。 \(a_n = a + (n − 1)d\) …(*) あとは、問題文にある項(第 \(15\) 項と第 \(45\) 項)を (*) の式で表して、連立方程式から \(a\) と \(d\) を求めます。 \(a_{15} = 33\)、\(a_{45} = 153\) であるから、(*) より \(\left\{\begin{array}{l}33 = a + 14d …①\\153 = a + 44d …②\end{array}\right. \) ② − ① より、 \(120 = 30d\) \(d = 4\) ① より \(\begin{align}a &= 33 − 14d\\&= 33 − 14 \cdot 4\\&= 33 − 56\\&= − 23\end{align}\) 最後に、\(a\) と \(d\) の値を (*) に代入すれば一般項の完成です!
質問日時: 2001/12/05 18:34 回答数: 5 件 こんにちは。 大学を卒業すると、大学院に行く人がいますよね。 最近は理系の人はけっこうたくさん進学すると聞きます。 大学院というのは、やはり大学みたいに受験があるのでしょうか? それとも、大学で良い成績を取った人が 進学したいと思ったら簡単に行けるのでしょうか? 大学院に入るには 学部の変更. もし、入試があるのなら、その内容も、 また、大学院の様子やそれがどのようなものなのか 教えてください。 No. 2 ベストアンサー 回答者: m-k-o-u 回答日時: 2001/12/05 19:36 はじめまして。 そうですね。今年はいつも以上に不況のせいで大学院にいく人が多かったそうです。 大学院は基本的には試験がありますよ。 しかし、たぶん、大学によってでしょうけど試験が免除される 条件があります。全体の3割に入っているとか 規定の単位を何年までに取るとか。その大学、いや、自分の入った学科によっても 変わってくるのではないでしょうか?
3 お礼 回答ありがとうございました。 すごく分かりやすかったです。 投稿日時 - 2011-01-04 08:14:26 その他の回答 (3件中 1~3件目) 私の知り合いの大学のある学部は、 ほとんどが推薦で院に上がるということでした。 そういうシステムになっているのだと思います。 ですから、4年生のうちに院生との交流も多かったみたいです。 うちの大学は、普通に試験があるのだと思いますが、 今3年生なんですが、そういった話を聞かないので、 自分から相談しないとそういった情報は来ないのですかね? わかりません。 なので、結構大学によって違いがありそうです。 もし、興味があるなら、勉強とかも色々あると思うので、 教授等に、どんなシステムになっているのかだけ聞いてみてもいいのではないでしょうか。 投稿日時 - 2011-01-03 22:39:51 ANo. 大学院に入るには 日程. 2 回答ありがとうございます。 それでは、教授等に聞いてみます。 投稿日時 - 2011-01-03 22:48:38 あせらなくても大丈夫。 大学3年や4年になったら、ゼミが始まり、 やがて研究室に配属になるから 直接、先生方や先輩から情報が入ってくるようになる。 いずれ、院試の過去問題も、同学年の人たちから手にはいるよ。 投稿日時 - 2011-01-03 22:24:23 ANo. 1 なんだか、焦っていたので 少し落ち着くことができました。 焦らず、少し様子を見てみます。 投稿日時 - 2011-01-03 22:50:41
大学院って実際どんなところ? 院生が伝える充実の学生生活 皆さんは「大学院」と聞いてどのようなイメージを持ちますか? 「理系の学生が多く行くところ」「研究が大変でつらそう」などの印象を持つ方も多いのではないでしょうか。そもそも、大学院に行く意味やその後の将来像を描きにくいという学部生もいるかもしれません。今回は、現役の大学院生3名にインタビュー。ベールに包まれた大学院での研究や生活、進学のきっかけ、将来の展望について話を聞きました。さらに、記事の最後には、大学院に関する質問集を掲載。大学院進学を検討する際に、ぜひ役立ててください。 (左から)倉田さん、喜多見さん、三林さん ▼政治学研究科:倉田 大輔(政治経済学部出身) ▼環境・エネルギー研究科:喜多見 まどか(他大学出身) ▼文学研究科:三林 優樹(教育学部出身) ▼大学院に関するよくある質問 非常に刺激的な大学院生活を満喫中! 大学院政治学研究科 修士課程 1年 倉田 大輔(くらた・だいすけ) ――いつ頃から大学院進学を意識しましたか? 中学1年生で受けた歴史の授業がきっかけです。その授業は、大学の講義のようなスタイルで実施されていました。授業内のレポート課題で韓国併合をテーマにして以来、この歴史的事象に伴う「不正義」に関心を持ったんです。高校進学後は、戦後の日本社会での在日朝鮮人・韓国人問題を研究。学部では、文献を読んで学びを深めながら、自ら「問い」を発見すること、その問いにどう応答していくかを考える行為に魅力を感じ、大学院で研究することが一つの選択肢となっていきました。 ――大学院入学試験に向け、どのような対策をしましたか? 私は推薦入試で受験しました。その中で求められた研究計画書の作成では、学部生のときからお世話になっていた谷澤正嗣先生(政治経済学術院准教授)に相談しました。執筆にあたり意識したのは、テーマと長く付き合っていきたいと思えるか、問題の設定レベルが適切か、独自の観点を持つかといった点です。提出後の口述試験では、進学後の研究内容について重点的に質問されるため、分かりやすく研究計画を伝えられるよう対策しました。 ――大学院での学生生活について教えてください。 週に7科目を履修しながら、政治経済学部の演習科目のティーチング・アシスタント(TA)も担当しています。それ以外の時間は、政治学研究科に所属する学生用の自習室や戸山図書館、大学周辺の喫茶店などで、文献を読んだり、勉強した内容をまとめたりしています。そうやって一人で文献に向き合うこともあれば、早めに帰宅して友人3〜4人とオンライン読書会を開催し、学びを深めることもあります。 オンライン読書会では、学部や学年の枠を超えて交流しているという(右上が倉田さん。左上は早稲田ウィークリーレポーターで法学部4年の植田将暉さん、下は政治経済学部3年の田村海斗さん) ――どのようなことを研究テーマとしていますか?
あなたが新卒で有名大手企業に就職して社会人として数十年、かなり中堅の年齢まで働いていたとして、そこに他の(規模の落ちる)企業から転職・中途採用・引き抜きの同世代の人が来たら、あなたはその人を不公平と思いますか?
大学院に進学した際の学費が気になります。 A. 学費の情報は、 入学センターWebサイト で一括して確認できます。なお、早稲田大学では、大学院生向けの奨学金を用意しています。早稲田大学独自の奨学金については、 奨学課Webサイト を確認してください。また、研究科ごとに設けている奨学金制度も多くあります。さらに、博士後期課程在学生を対象とした奨学金も充実しています。 Q. 修士課程に進むと、社会に出るのが2年遅くなってしまいますよね。 A. 研究科によっては修士課程1年制を設けている場合があります。さらに、学部在籍中から先取り履修をすることで、2年分の学びを1年に凝縮して身に付ける「学部・修士5年一貫修了制度」を設けている研究科もあります。 Q. 学部卒に比べて、就職が難しくなるイメージがあるのですが。 A. 大学院では、それぞれの研究科で自身の専門性を磨けることはもちろん、自ら課題を設定し、仮説を立て、検証・分析し、結果を論文にまとめたり、プレゼンをしたりするという、社会に出ても役立つ「課題解決力」を身に付けることができます。自己理解と仕事理解を深めて就職活動に臨むのは学部生と同じですが、大学院生として課題解決力を期待されるようになります。各研究科修了生の就職率・就職先は キャリアセンターWebサイト や各研究科Webサイトで公開しています。 Q. 学部卒業後、一度就職してから大学院に入り直すことを検討しています。 A. 社会人経験を積んでから、早稲田大学大学院で学び直す方も多くいます。また、働きながら学ぶ学生のために、夜間での授業を開講している研究科もあります。自身の目的に合った研究科を簡単に探せる 専用Webサイト も活用してみましょう。 6月12日(土)大学院合同説明会 早稲田大学大学院進学を目指す方を対象として、多くの研究科が一堂に会する大学院合同説明会をオンラインで実施します。進学を決めている方のみならず、低学年の方を含めて大学院に興味を持つ方は大歓迎。個別相談も実施します。詳細は Webサイト を確認してください。 日時:2021年6月12日(土) 12:00~17:00 場所:オンライン(Zoom) ※概要説明・個別相談ともに、プログラムごとの事前予約制となります。予約は こちら から。 大学院に関する詳細な情報は、各研究科のWebサイトなどで発信しています。また、 入学センターWebサイト では入試情報を始め、大学院の幅広い情報を提供しています。興味のある人はぜひ確認してみましょう。 【次回フォーカス予告】6月14日(月)公開「ハイブリッド型授業特集」
gooで質問しましょう!
解決済みの質問 このQ&Aは役に立ちましたか? 大学院って・・・どうやってはいるの? 今、大学一年生なのですが、大学院に入るために何をすればいいのかまったく分かりません。そもそも、大学院にはどのようにして入学するのかもわかりません。初歩的な質問で申し訳ありませんが、回答お願いします。 投稿日時 - 2011-01-03 22:18:29 QNo.