タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★ 整式の割り算の余りの問題について扱います.入試でも頻出です. 剰余の定理の言及もします. 整式の割り算の余りの求め方 整式の割り算は過去の範囲で既習済みのはずですが,今回は割り算の余りに注目します. ポイント 整式 $P(x)$ を $D(x)$ で割るとき,商を $Q(x)$,余りを $R(x)$ とおいて $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ を立式する.普通 $Q(x)$ が正体不明だが,$D(x)=0$ となるような $x$ を代入して $R(x)$ の情報を得る. ※ 上の恒等式は (割られる数) $=$ (割る数) $\times$ (商) $+$ (余り) という構造です. ※ $P(x)$ は polynomial, $D(x)$ は divisor, $Q(x)$ は quotient, $R(x)$ は remainder が由来です. 上の構造式を毎回設定して解けばいいので,下に紹介する 剰余の定理は存在を知らなくても大きな問題にはなりません. 剰余の定理 剰余の定理(remainder theorem)とは,整式を1次式で割ったときの余りに関する定理です. Ⅰ 整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割るとき,余りは $P(\alpha)$ である. Ⅱ 整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割るとき,余りは $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である. ※ Ⅱ は Ⅰ の一般化です. 整式の割り算,剰余定理 | 数学入試問題. 証明 例題と練習問題 例題 (1) 整式 $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの余りを求めよ. (2) 整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $7$,$x+9$ で割ると余りが $2$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+9)$ で割った余りを求めよ. 講義 剰余の定理をダイレクトでは使わず,知らなくてもいいように答案を書いてみます. (2)は頻出の問題で,$(x-1)(x+9)$ ( $2$ 次式)で割った余りは $1$ 次式となるので,求める余りを $\color{red}{ax+b}$ とおきます. 解答 (1) $x^{4}-3x^{2}+x+7$ を $x-2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 余りを $r$ とすると $x^{4}-3x^{2}+x+7=(x-2)Q(x)+r$ 両辺に $x=2$ を代入すると $5=r$ 余りは $\boldsymbol{5}$ ※ 実際に割り算を実行して求めてもいいですが計算が大変です.
【入試問題】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 −2x−1 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ. (京大2013年理系) (解説) 一般に n の値ごとに商と余りは異なるので,これらを Q n (x), a n x+b n とおく. 以下,数学的帰納法によって示す. (Ⅰ) n=1 のとき x 1 を整式 x 2 −2x−1 で割った余りは x だから a 1 =1, b 1 =0 これらは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない. (Ⅱ) n=k (k≧1) のとき, a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないと仮定すると x k =(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x+b k ( a k, b k は整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない)とおける 両辺に x を掛けると x k+1 =x(x 2 −2x−1)Q k (x)+a k x 2 +b k x この式を x 2 −2x−1 で割ったとき第1項は割り切れるから,余りは残りの項を割ったものになる. a k x 2 −2x−1) a k x 2 +b k x a k x 2 −2a k x−a k (2a k +b k)x+a k したがって a k+1 =2a k +b k b k+1 =a k このとき, a k, b k は整数であるから, a k+1, b k+1 も整数になる. もし, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数 p が存在すれば a k+1 =2a k +b k =A 1 p b k+1 =a k =B 1 p となり a k =B 1 p b k =A 1 p−2B 1 p=(A 1 −2B 1)p となって, a k, b k をともに割り切る素数は存在しないという仮定に反する. 剰余の定理まとめ(公式・証明・問題) | 理系ラボ. したがって, a k+1, b k+1 をともに割り切る素数は存在しない. (Ⅰ)(Ⅱ)から,数学的帰納法により示された. 【類題4. 1】 n を自然数とし,整式 x n を整式 x 2 +2x+3 で割った余りを ax+b とする.このとき a と b は整数であり, a を3で割った余りは1になり, b は3で割り切れることを示せ.
剰余の定理を利用する問題 それでは、剰余の定理を利用する問題に挑戦してみましょう。 3. 1 例題1 【解答】 \( P(x) \) が\( x+3 \) で割り切れるので、剰余の定理より \( P(-3)=0 \) すなわち \( 3a-b=0 \ \cdots ① \) \( P(x) \) が\( x-1 \) で割ると3余るので、剰余の定理より \( P(1)=3 \) すなわち \( a+b=-25 \ \cdots ② \) ①,②を連立して解くと \( \displaystyle \color{red}{ a = – \frac{45}{4}, \ b = – \frac{75}{4} \ \cdots 【答】} \) 3. 【数学ⅡB】剰余の定理と恒等式【東海大・東京女子大・明治薬科大】 | 大学入試数学の考え方と解法. 2 例題2 \( x^2 – 3x – 4 = (x-4)(x+1) \) なので、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+1) \) で割ったときの余りを考えればよい。 また、 2 次式で割ったときの余りは1 次式以下になる ( これ重要なポイントです )。 よって、余りは \( \color{red}{ ax+b} \) とおける。 この2つの方針で考えていきます。 \( P(x) \) を \( x^2 – 3x – 4 \),すなわち\( (x-4)(x+1) \) で割ったときの商を \( Q(x) \),余りを \( ax+b \) とすると \( \color{red}{ P(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + ax + b} \) 条件から、剰余の定理より \( P(4) = 10 \) すなわち \( 4a+b=10 \ \cdots ① \) また、条件から、剰余の定理より \( P(-1) = 5 \) すなわち \( -a+b=5 \ \cdots ② \) \( a=1, \ b=6 \) よって、求める余りは \( \color{red}{ x+6 \ \cdots 【答】} \) 今回の例題2ように、 剰余の定理の問題の基本は「まず割り算の等式をたてる」ことです 。 4. 剰余の定理まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 剰余の定理まとめ 整式 \( P(x) \) を1次式 \( (a- \alpha) \) で割ったときの余りは \( \color{red}{ P(\alpha)} \) ・剰余の定理を利用することで、実際に多項式の割り算を行わなくても、余りをすぐに求めることができる。 ・剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理。 以上が剰余の定理についての解説です。 この記事があなたの勉強の手助けになることを願っています!
今日15日(火)は、岐阜行きを中止して、孫のランドセルと学習机の購入を決めるために大垣市のイオンモール等へ出かけることになった。 通信課題も完成させて明日投函するだけなので、今日の岐阜学習センター行きは中止した。なお、17日(木)は、予定通り。
(2) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q_{1}(x)$,$x+9$ で割ったときの商を $Q_{2}(x)$,$(x-1)(x+9)$ で割ったときの商を $Q_{3}(x)$ 余りを $ax+b$ とすると $\begin{cases}P(x)=(x-1)Q_{1}(x)+7 \\ P(x)=(x+9)Q_{2}(x)+2 \\ P(x)=(x-1)(x+9)Q_{3}(x)+ax+b\end{cases}$ 1行目と3行目に $x=1$ を代入すると $P(1)=7=a+b$ 2行目と3行目に $x=-9$ を代入すると $P(-9)=2=-9a+b$ 解くと $a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{13}{2}$ 求める余りは $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x+\dfrac{13}{2}}$ 練習問題 練習 整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $9$,$(x+2)^{2}$ で割ると余りが $20x+17$ である.$P(x)$ を $(x+2)(x-2)$ で割ったときと,$(x+2)^{2}(x-2)$ で割ったときの余りをそれぞれ求めよ. 練習の解答
この画像をクリックしてみて下さい. 整式を1次式で割った余りは剰余の定理により得ることができます. 2次以上の式で割るときは縦書きの割り算を実行します. 本問(3)でこの割り算を回避することができるでしょうか.
ただし,負の整数 −M を正の整数 m で割ったときの商を整数 −q ,余りを整数 r とするとき, r は
−M=m(−q)+r (0≦r フィルター フィルター フィルター適用中 {{filterDisplayName(filter)}} {{filterDisplayName(filter)}} {{collectionsDisplayName(liedFilters)}} ベストマッチ 最新順 古い順 人気順 {{t('milar_content')}} {{t('milar_colors')}} ロイヤリティフリー ライツマネージ ライツレディ RFとRM RFとRR 全て 12メガピクセル以上 16メガピクセル以上 21メガピクセル以上 全て 未加工 加工済み 使用許諾は重要でない リリース取得済み もしくはリリース不要 部分的にリリース取得済み オンラインのみ オフラインのみ オンラインとオフライン両方 裸や性的なコンテンツを除く 女性生殖器系には外性器と内性器が含まれます。 陰門とその構造が、外性器を形成します。 内性器は、次にあげる管の3つの部分のシステム、 卵管、子宮、および膣を含みます。 この管のシステムは、卵巣(一次生殖器)と結合します。 卵巣は卵細胞を生成し、受精のためにそれらを放出します。 受精卵は、子宮の内部で発達します
1. 卵子の生成: 卵巣は、女性生殖腺である
卵巣は輸卵管に接続している子宮の両側にある2つのアーモンド形の構造です。 エストロゲン、プロゲステロンと他のホルモン類と同様に卵母細胞(卵細胞)を生成します。 卵細胞の生成または卵子形成は、原始卵胞から始まります。 女児が思春期に達すると、それぞれの卵巣は数千の卵胞を含み、それぞれの卵胞は一次卵母細胞を含みます。 卵胞が成熟すると、一部の一次卵母細胞が二次卵母細胞になります。 排卵時までに、1つの成熟卵胞だけが残ります。 残りの卵胞は劣化します。 排卵(1ヵ月に約1回)の間、優性卵胞が破裂し、その二次卵母細胞が放出されます。 卵母細胞は輸卵管に移動し、そこで受精することができます。
2. 女性のための転職・求人サイト【マイナビ転職女性のおしごと】. 卵巣からの卵細胞は、輸卵管の中を移動する
輸卵管( ファロピウス管 または 卵管 とも呼ばれます)は、卵巣と子宮を連結します。 それぞれの管の壁には、外部の漿膜層、中間の筋肉層および子宮の内膜と連続している内部の粘液層があります。 それぞれの輸卵管は、以下の3つの部分に分けることができます。 漏斗部 は、腹部に開いています。 峡部 と呼ばれる収縮した部分は、子宮と連結しています。 最後に、中間の拡張した部分、 膨大部 は卵巣を超えて湾曲しています。 卵子の受精は、通常膨大部で起こります。 その後、卵子は卵管峡部を通って子宮に移動します。
3. 胚芽が胎児になるにつれて、子宮は拡大する
子宮は、膀胱と直腸との間の骨盤腔に位置するセイヨウナシ形の器官です。 それは、厚い筋肉の壁からなる中空器官です。 輸卵管(両側に1つづつある管)は、卵巣から子宮上部へと続きます。 子宮の下部は収縮して 子宮頚部 と呼ばれる部分となり、膣に至ります。 月経の間、子宮内膜が脱落します。 しかし、女性が妊娠すると、受精卵は子宮壁に埋没し、月経がなくなります。 卵子が胚芽に発育し、次に胎児へと成長するにつれて、子宮が劇的に拡大します
4. 膣: 3つの中心的な機能を持つトンネル
膣は子宮下部の子宮頚部から陰門と陰門の一部である前庭そして外生殖器まで下って広がっています。 それは、膀胱の後、直腸の前に位置します。 内膜の粘膜は、膣の平滑筋壁に沿って並んでいます。 輸卵管の内側層のように、この内膜は、子宮の粘液内膜と連続しています。 膣には、次にあげる3つの主要な機能があります。 先ず、体外に月経出血を運び、性行為時には男性の陰茎を受け入れ、出産時には産道の役割を果たします
5. 「 女 」はこの項目へ 転送 されています。その他の用法については「 女 (曖昧さ回避) 」をご覧ください。
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