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2021-08-08 13:38:11
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山野太一(東北福祉大学)はメジャーも注目するドラフト候補のサウスポー！｜Promising選手名鑑
試合終了。3ー0で大内が決勝進出! 大内と鴻南の山口市代表チームの決勝戦となりました! この分析について
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最終更新日時: 2021/8/10 (火) 06:59 更新
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コーシー・シュワルツの不等式 - つれづれの月
但し, 2行目から3行目の変形は2項の場合のコーシー・シュワルツの不等式を利用し, 3行目から4行目の変形は仮定を利用しています.
コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ
2016/4/15
2019/8/15
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
この記事の所要時間: 約 5 分 12 秒
コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式
以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ
・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ
・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ
但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用
ラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k
コーシー・シュワルツ不等式【数学Ⅱb・式と証明】 - Youtube
(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). コーシー・シュワルツの不等式 - つれづれの月. 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a
覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ
のつづきです。 コーシーシュワルツの不等式ってあまり聞きなれないかもしれないけど、当たり前の式だからなんてことないです。
コーシーシュワルツの不等式は
または
っていう複雑な式だけど
簡単にいえば,
というだけ。 内積 は長さの積以下であるというのは自明です。簡単ですね。
コーシー・シュワルツの不等式を利用して最小値を求める コーシー・シュワルツの不等式 を利用して,次の関数の最大値と最小値を求めよ. $f(x, ~y)=x+2y$
ただし,$x^2 + y^2 = 1$とする. $f(x, ~y, ~z)=x+2y+3z$
ただし,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$とする. $a = 1, b = 2$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2)$
(x+2y)^2\leqq(1^2+2^2)(x^2+y^2)
さらに,条件より $x^2 + y^2 = 1$ であるから
&\quad(x+2y)^2\leqq5\\
&\Leftrightarrow~-\sqrt{5}\leqq x+2y\leqq\sqrt{5}
$\tag{1}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1} $ が成り立つ. $\eqref{kosishuwarutunohutousikisaisyouti1}$の等号が成り立つのは
x:y=1:2
のときである. コーシー・シュワルツの不等式のその他の証明～ラグランジュの恒等式 | 数学のカ. $x = k,y = 2k$ とおき,$\blacktriangleleft$ 比例式 の知識を使った $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると
&k^2+(2k)^2=1\\
\Leftrightarrow~&k=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}
このとき,等号が成り立つ. 以上より,最大値$f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol{\sqrt{5}}$ , 最小値 $f\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}, ~-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\boldsymbol-{\sqrt{5}}$ となる. $a = 1,b = 2,c = 3$ とすると, コーシー・シュワルツの不等式より $\blacktriangleleft(ax+by+cz)^2$
$\leqq(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$
&(x+2y+3z)^2\\
&\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)
さらに,条件より $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ であるから
&(x+2y+3z)^2\leqq14\\
\Leftrightarrow&~-\sqrt{14}\leqq x+2y+3z\leqq\sqrt{14}
\end{align} $\tag{2}\label{kosishuwarutunohutousikisaisyouti2}$ が成り立つ.