全体的に「東工大入試としては」難しい問題が見られない一方で,小問数がかなり多いという印象を覚えました. 今年はコロナの影響で学力低下の懸念があったので,その備えだったかもしれないと予想していますが,見当はずれかもしれません. 標語的には「2020年の試験から,難易度をそのまま問題数だけ増やした試験」といった感じでしょうか. 東工大として比較的低難度な問題をたくさんという構成なので,要は他の一般的な大学の入試のようになったということです. 長試験時間,少大問数なのは変わらないので,名大入試的な構成と言った方がいいかもしれませんね. 一方,分野は例年とあまり変わらない印象です. ただし,複素数の出題はありませんでした.第二問(3)を複素数で解くことは一応可能ですが,あくまで「不可能ではない」という程度の話で,出題されなかったとみるのが素直だと思います. 問題数が多い忙しい試験,なようで意外とそうでもありません. 確かに,全ての小問を解こうとすると (つまり,満点を狙おうとすると) 時間的にかなりタイトです. ただ,難しい問題を無理に解こうとしなければ,易しい問題が多かったのもあって逆にゆとりを持って解答できたはずです. ゆとりがあるということは,残った時間で何問か解きうるということなので,満点を取りたい人以外は難易度,時間,分野のどれも例年と大きく変わらない試験だったと予想しています. まあ,さすがに去年よりは難しいと思いますが,例外は去年の方です. 大問ごとの概要です. 略解は参考程度に. 解答例 総和に関する不等式の問題です. (1)はただの誘導で,(2)が主眼になっています. 東京工業大学 |2020年度大学入試数学 - 「東大数学9割のKATSUYA」による高校数学の参考書比較. (1)は各桁に$9$を含まない$k$桁の正の整数の場合の数なので, $a_k = 8 \cdot 9^{k -1}. $ (2)は(1)を参考に各桁の整数ごとに別々に和をとって不等式で評価することを考えます. すると, $$ \sum_{n = 1}^{10^k - 1} b_n = \sum_{k = 1}^{10} b_n + \cdots + \sum_{k = 10^{k - 1}}^{10^k - 1}b_n \leqq 8 + \cdots + \frac{8 \cdot 9^{k - 1}}{10^{k - 1}} < 80 のようにして証明できます. $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k}$は発散してしまうのに,この級数は収束する,という面白い問題です.
定義からして真面目に計算できそうに見えないので不等式を使うわけですが,その使い方がポイントです. 誘導は要るのだろうかと解いているときは思いましたが,無ければそれなりに難しくなるのでいいバランスなのかもしれません. (2)は程よい難易度で,多少の試行錯誤から方針を立てられると思います. 楕円上の四角形を考察する問題です. (1)は誘導,(2)も一応(3)の誘導になっていますが,そこまで強いつながりではありません. (1) 楕円の式に$y = ax + b$を代入した \frac{x^2}{4} + (ax + b)^2 = 1 が相異なる2実解を持つことが必要十分条件になります. 4a^2 - b^2 + 1 > 0. (2) (1)で$P, Q$の$x$座標 (または$y$座標) をほぼ求めているのでそれを使うのが簡単です. $l, m$の傾きが$a$であることから,$P, Q$の$x$座標の差と,$S, R$の$x$座標の差が等しいことが条件と言えて, 結局 c = -b が条件となります. (3) 方針① (2)で各点の$x$座標を求めているので,そのまま$P, Q, R, S$の成分表示で考えていきます. \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS} &= 0 \\ \left| \overrightarrow{PQ} \right| &= \left| \overrightarrow{PS} \right| \end{aligned} となることが$PQRS$が正方形となる条件なのでこれを実際に計算します. 東工大の数学って今東大より難しいってマジ？ : 早慶MARCH速報. 少し汚いですが計算を進めると,最終的に各辺が座標軸と平行な,$\left(\pm \frac{2}{\sqrt{5}}, \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$を頂点とする正方形だけが答えと分かります. 方針② (2)から$l, m$が原点について点対称となっていることが分かるのでこれを活用します. 楕円$E$も原点について点対称なので,$P$と$R$,$Q$と$S$は点対称な点で,対角線は原点で交わります. 正方形とは長さが等しい対角線が中点で直交する四角形のことなので,楕円上の正方形の$4$頂点は$1$点の極座標表示$r, \theta$だけで表せることが分かり,$4$点全てが楕円上に乗るという条件から方針①と同様の正方形が得られます.
(1), (2)は比較的易しめです. (3)は他の大問の設問と比較しても難しめです. 基本的には,他の問題を解いてから最後に臨む問題になると思います. ただし,例えば方針②のような計算量の少ないやり方を思いついて,意外とすんなり解けたということはありうると思います. 二項係数に関する整数の問題です. (1), (2)ともに誘導です. 二項係数の定義にしたがって実際に計算. 漸化式 a_{n + 1} = \frac{2(2n + 1)}{n + 2}a_n が得られれば,数学的帰納法で証明可能. $n = 2, 3$が答え. これは簡単に実験で予想できるので,この証明を目指します. $n \geqq 5$で$a_n$が合成数であることを証明します. $n = 1, 2, 3, 4$は具体的に計算. (2)の結果と上の漸化式を使うと a_n > 2n + 1 と示せます. 一方で,$a_n$を素因数分解すると$2n$未満の素数しか含まないことが分かるので,合成数であると示せます. ~~が素数となる○○をすべて求めよ,という形式の問題を本当によく見かけるようになったな,というのが最初に見たときの感想でした. どうでもいいですね. さて,この問題はよくある$3$なり$5$の倍数であることを示してささっと解けてしまう問題とは少し違って,合成数であることだけが示せます.なにか具体的な素数$p$の倍数というわけではありません. 偶数なように見えるかもしれませんが$a_7$は奇数です. 本問の(3)と,第二問の(3)が最も難しい設問ということになるだろうと思います. 二項係数ということで既に整数の積 (と商) の形になっているのでそれを使う訳ですが,略解の方針にしろ他の方針にしろ あまり見かけない論法だと思うのでなかなか思いつきにくいと思います. なお,(1)と(2)はそう難しくないので,(2)まで解くのが目標といったところでしょうか. (3)は予想だけして,証明は余裕があればといったところ. ベクトルの問題です. $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$があたかも一つのベクトルのようになっているというのがポイント. (1)は(2)の誘導で,(3)は(2)の続き,あるいは具体例です. 2021年東工大一般入試雑感 : 数学アマノジャク. どちらかといえば(2)がメイン. 実際に計算して, k = -2. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$をまとめて一つのベクトルとみてみると, 半径$3$の球内を動くベクトルと球面を動くベクトルとしてとらえられます.
後は図形的に見ても数式だけで処理してもあまり変わらず, M = \frac{9}{2}. $D$の位置と(2)の結果から$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$(重心とみてもよい) が決まりますが, $C$の位置から$|\vec{a} + \vec{b}| = 2$と分かります. つまり,ただ$1$点に決まってしまって, \vec{a} = \vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{7}{8} \\ -\frac{\sqrt{15}}{8} \\ 0 \end{pmatrix}. 要は(1)は(2)の誘導になっているわけですが,ここに誘導がつくのは少し驚きました. この誘導により,(2)がかなり見通しやすくなっています. 個人的には(2)も「易」とするか迷いましたが平均点は低そうな予感がしたので「標」ということにしておきました. (3)は$1$点に決まってしまうので実はそこまで難しくはないのですが,(3)はかなり特別な状況で基本的には円になるので,先に円が見える逆に見えにくくなるかもしれません. 何かのはずみで$|\vec{a} + \vec{b}|$を計算してしまえば一瞬で氷解します. 恒例の積分の問題です. 計算量はありますが,ほとんど一本道です. 円周の下半分$y = a - \sqrt{a^2 - x^2}$が常に$x^2$より上にあることが条件で,計算すると, a \leqq \frac{1}{2}. 同様に$x^2 - x^4$より上にあることが条件で,計算すると結局同じ a \leqq \frac{1}{2} が答え. 計算するときは,$X = x^2$と置換すると見やすくなります. まずは円$C$を無視して4次関数の上側の回転体の体積を求め,そのあと$C$の回転体の分だけ「くりぬき」ます. 4次関数の上側下側合わせた回転体 ($0 \leqq y \leqq \frac{1}{4}$),つまり円筒の体積は V_1 = \frac{\pi}{8} と表せ,4次関数の下側の回転体の体積は V_2 = \frac{\pi}{12} と表せます.この結果から,4次関数の上側の回転体の体積は V_1 - V_2 = \frac{\pi}{24} と求まります. 一方,円$C$の回転体 (球) の$y \leqq \frac{1}{4}$の部分の体積は$a = \frac{1}{8}$を境に場合分けして, $a \leqq \frac{1}{8}$のとき V_3 = \frac{4}{3}\pi a^3, $a \geqq \frac{1}{8}$のとき V_3 = \frac{a}{16}\pi - \frac{\pi}{192} となります.
※この記事は約22分で読めます。 「東工大受験の難易度はどれくらい?」 「東工大合格に向けての勉強法はどうしたら?」 と思う人は多いでしょう。 超難関国立大学の1つである東工大の難易度は非常に高いといえます。東工大に合格するためには、弱点のない基礎力と実戦力とが要求されます。 この記事では、東工大の入試問題で問われる能力、東工大試験の概要、および東工大に合格するための勉強方法について解説します。 ※本記事に記載されている情報は2019年1月25日現在のものです。最新の情報は大学公式ホームページにて必ずご確認ください。 東工大の入試問題で問われる能力 東工大の入試問題で問われるのはどのような能力なのでしょうか?
東大理系、東工大の入試難易度 いわゆる理系トップ大学ですが、入試はどちらが難しいのでしょうか? 一般的に受かるのが難しいというイメージがあるのは東大、 模試で配られる偏差値表などでも東大の方が偏差値がだいぶ高いのですが、 問題の難易度や、定員(東工大の方がだいぶ少ないです。)なども考慮すると どちらが難しいのかな・・・と思いました。 どう思われますか?
3) 最後は積分法の応用。最初は漸化式を作ります。(2)以降は極限を次々に求めていく問題です。 どこまでくらいつけるかですが、(2)まで出来ればOKでしょう。 (1) は n絡みの定積分で漸化式を作るときは、部分積分 が基本です。三角関数の方を先に変形しましょう。 (2)まではなんとか出来たでしょうか。(1)の結果から、ka(k)=・・・の式が出来ます。 0~1の区間でxのk乗なので、ak自体がそもそも0に収束しそうである ことに気づければ、評価が可能です。 siinも区間内で0~1の間を取るので、1に置き換えてしまえば積分もできます。 (3)以降はかなり難しいです。問題文自体もかなり遠回しな表現ですが、易しく(?
豆腐を作る工程でできるおから。普段の料理にも取り入れていますか?今回はそんなおからの栄養についてまとめていきます。生おからやおからパウダーを使ったおすすめレシピも合わせてご紹介します。 1. おからとは おからとは、豆腐を作る工程でできるものです。豆腐を作る時に水に浸した大豆を細かくすりつぶしたものを煮沸します。その後布で濾した時にできるのがおからと豆乳です。布に残ったものがおからになります。 スーパーでもよく見かけるおからは生おからとおからパウダー(乾燥おから)があります。生おからは水分を含んでいるので消費期限が早く、すぐに使い切る時におすすめです。 おからパウダーと乾燥おからの違いは粒の大きさで、どちらも乾燥したものになります。おからパウダーや乾燥おからは乾燥しているので保存期間も長くなり、少量ずつでも使いやすいのが特徴です。最近ではメーカーによっておからパウダーの粒の大きさも変わり、水分に溶けやすいもの等もあります。小麦粉の代わりに使うこともでき、少量でも料理に使いやすいです。 2. 生おからとおからパウダーの栄養価 おからには生のものと乾燥しているものがあるのでそれぞれ栄養価がかわります。同じ可食部100g当たりで比較しても、生おからはエネルギーが 111kcalなのに対し、乾燥しているおからパウダーになると421kcalになります。100g当たりでみるとおからパウダーの方が水分が抜けているのでカロリーも高くなっています。ちなみに生おからの水分は75. 5gなのに対し、おからパウダーの水分は7. 1gです。 他の栄養価を見てみると、生おからはたんぱく質6. 1g、脂質3. 6g、炭水化物13. 8g、食物繊維11. 5g、鉄1. 3mg、銅0. 14mgが含まれていますが、おからパウダーはたんぱく質23. 美容と筋活におすすめ！おから＆おからパウダーの栄養成分を解説。 | やまでら くみこ のレシピ. 1g、脂質13. 6g、炭水化物52. 3g、食物繊維43. 6g、鉄4. 9mg、銅0. 53mgが含まれています。 おからパウダーには食物繊維が43. 6g入っているのですが、その内訳は水溶性食物繊維は1. 5g、不溶性食物繊維は42. 1gとなっており、ほとんど不溶性食物繊維であることがわかります。この不溶性食物繊維は腸で水分を吸収して膨らみ、腸のぜん動運動を活発にしてくれます。おからパウダーには他にもビタミンやミネラルも含まれており、ビタミンK30μg、葉酸53μg、カルシウム310㎎、鉄4.
おからダイエットが流行するなど、ヘルシーなイメージがあるおから。 おからは糖質を抑えたいときの救世主 になります。そこで、今回はおからのカロリーや糖質のほか、栄養素について紹介します。ダイエットにおすすめのレシピも載せていますので、ぜひ参考にしてくださいね。 おからとは? おからは豆腐をつくる際に出てくる大豆の搾りかす です。「かす」なんて聞くと何の栄養もないようですが、大豆の良いところがぎゅうっと詰め込まれています。健康に良いとされる大豆は、豆腐や豆乳、そしておからなど、捨てる部分はほとんどなく利用されているのです。 おからのカロリーや糖質を大豆製品と比較 カロリー タンパク質 脂質 炭水化物 糖質 おから 生/100g 111 kcal 6. 1 g 3. 6 g 13. 8 g 2. 3 g おから パウダー/100g 421 kcal 23. 1 g 13. 6 g 52. 3 g 8. 7 g 無調整豆乳/100g 46 kcal 3. 6 g 2. 0 g 3. 1 g 2. 9 g 木綿豆腐/100g 72 kcal 6. 6 g 4. 2 g 1. 6 g 1. 2 g 摂取基準 (上段男性、下段女性) 2650 kcal 2000 kcal 60. 0 g 50. 0 g 73. 6 g 54. 8 g 364. 0 g 271. 0 g 344 g 253 g ※1 おからには「生」と乾燥した「パウダー状」のものがあります。水分を完全に飛ばしているので、パウダーの方が栄養価が高くなっていますね。また、豆乳や豆腐にはほとんど含まれていない食物繊維が、おからには豊富です。生で100g中に10g、 パウダーにいたっては100g中のおおよそ44gが食物繊維 という結果に。おからはタンパク質や食物繊維が多く、脂質が抑えられたヘルシーな食材だとわかります。 おからのカロリーや糖質を粉類と比較 カロリー タンパク質 脂質 炭水化物 糖質 おからパウダー 100g 421 kcal 23. 7 g 薄力粉 100g 368 kcal 9. 3 g 1. 9 g 74. 3 g 71. 7 g 強力粉 100g 366 kcal 12. 7 g 70. 6 g 68. 5 g 米粉 100g 374 kcal 6. 0 g 0. 7 g 81. 9 g 81. 3 g ※1 糖質が高くダイエット中は避けられがちな粉類と比較すると、おからは低糖質・高タンパク質ですね。揚げ物やつなぎで使用する際、 おからパウダーの置き替えることで大幅な糖質カット ができます。しかし、おからパウダーは吸油率が高いので、薄力粉や米粉よりもカロリーが高くなりやすいです。おからパウダーで揚げ衣をつくるときは、糖質オフを目的とする場合に代替えとして使用するようにしましょう。 おからの定番おかずのカロリーは?
9mg等が含まれています。これらも生おからより高い栄養価になっています。 こうしてみていくと、おからパウダーの方が栄養価が高いことがわかります。ただ、料理によっても生おからとおからパウダーでは使う量が変わるので、注意が必要です。 【出典:日本食品標準成分表2015年版(七訂)】 3. 豆腐の栄養価との比較 おからと同じ大豆製品と言えば豆腐がありますが、おからと豆腐の栄養価の違いはどのようになっているのでしょうか? 一般的な豆腐には木綿豆腐と絹ごし豆腐がありますが、それぞれのエネルギーは可食部100g当たり木綿豆腐80kcal、絹ごし豆腐62kcalとなっており、生おから111kcalの方が高いことがわかります。しかしたんぱく質を見てみると木綿豆腐7. 0g、絹ごし豆腐5. 3g、生おから6. 1gとなり、木綿豆腐が1番高いですが、生おからは絹ごし豆腐よりたんぱく質が含まれていることがわかります。 脂質は木綿豆腐4. 9g、絹ごし豆腐3. 5g、生おから3. 6gとなっており、絹ごし豆腐と生おからはあまり差がないですね。そして炭水化物では、木綿豆腐1. 5g、絹ごし豆腐2. 0g、生おから13. 8gで圧倒的に生おからが多いことがわかります。そこで食物繊維をみてみると、木綿豆腐1. 1g、絹ごし豆腐0. 9g、生おから11. 5gなので、糖質は木綿豆腐0. 4g、絹ごし豆腐1. 1g、生おから2. 3gとなり生おからの糖質が高いことがわかりますね。このように同じ大豆製品でも少しずつ栄養価が変わってきます。 【出典:日本食品標準成分表2015年版(七訂)、追補2018年】 4.