イメージですが、次のようにすると\(x\) と\( y \) を消去することができますよね。 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y}&=1+4\\ &=5 この左辺 x\cdot \frac{1}{x}+4y\cdot \frac{1}{y} の形はコーシ―シュワルツの不等式の右辺と同じ形です。 このことから「コーシーシュワルツの不等式を利用してみよう」と考えるわけです。 コーシ―シュワルツの不等式の左辺は2乗の形ですので、実際には、次のように調整します。 コーシーシュワルツの不等式より \{ (\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2\} \{ (\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2 \} \\ ≧ \left(\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{y}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2 整理すると \[ (x+4y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)≧3^2 \] \( x+4y=1\)より \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}≧9 \] これより、最小値は9となります。 使い方がやや強引ですが、最初の式できてしまえばあとは簡単です! 続いて等号の成立条件を調べます。 \[ \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} =\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \] \[ ⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2y} \] \[ ⇔ x=2y \] したがって\( x+4y=1\)より \[ x=\frac{1}{3}, \; y=\frac{1}{6} \] で等号が成立します。 レベル3 【1995年 東大理系】 すべての正の実数\(x, \; y\) に対し \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}≦k\sqrt{2x+y} \] が成り立つような,実数\( k\)の最小値を求めよ。 この問題をまともに解く場合、両辺を\( \sqrt{x} \) でわり,\( \displaystyle{\sqrt{\frac{y}{x}}}=t\) とおいて\( t\) の2次不等式の形に持ち込みますが、やや面倒です。 それでは、どのようにしてコーシ―シュワルツの不等式を活用したらよいのでしょうか?
今回は コーシー・シュワルツの不等式 について紹介します。 重要なのでしっかり理解しておきましょう! コーシー・シュワルツの不等式 (1) (等号は のときに成立) (2) この不等式を、 コーシー・シュワルツの不等式 といいます。 入試でよく出るというほどでもないですが、 不等式の証明問題や多変数関数の最大値・最小値を求める際に 威力を発揮 する不等式です。 証明 (1), (2)を証明してみましょう。 (左辺)-(右辺)が 以上であることを示します。 実際の証明をみると、「あぁ、・・・」と思うかもしれませんが、 初めてやってみると案外難しいですし、式変形の良い練習になりますので、 ぜひまずは証明を自分でやってみてください! (数行下に証明を載せていますので、できた人は答え合わせをしてくださいね) (1) 等号は 、つまり、 のときに成立します 等号は 、 つまり、 のときに成立します。 、、うまく証明できましたか? コーシー・シュワルツ不等式【数学ⅡB・式と証明】 - YouTube. (2)の式変形がちょっと難しかったかもしれませんが、(1)の変形を3つ作れる!ということに気付ければできると思います。 では、このコーシー・シュワルツの不等式を使って例題を解いてみましょう。 2変数関数の最小値を求める問題ですが、このコーシー・シュワルツの不等式を使えば簡単に解くことができます! ポイントはコーシー・シュワルツの不等式をどう使うかです。 自分でじっくり考えた後、下の解答を見てくださいね! 例題 を実数とする。 のとき、 の最小値を求めよ。 解 コーシー・シュワルツの不等式より、 この等号は 、かつ 、 すなわち、 のときに成立する よって、最小値は である コーシー・シュワルツの不等式の(1)式で、 を とすればよいのですね。。 このコーシー・シュワルツの不等式は慣れていないと少し使いにくいかもしれませんが、練習すれば自然と慣れてきます! 大学受験でも有用な不等式なので、ぜひコーシー・シュワルツの不等式は使えるようになっていてください!
2016/4/15
2019/8/15
高校範囲を超える定理など, 定義・定理・公式など
この記事の所要時間: 約 5 分 12 秒
コーシー・シュワルツの不等式とラグランジュの恒等式
以前の記事「 コーシー・シュワルツの不等式 」の続きとして, 前回書かなかった別の証明方法を紹介します. コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式は次のような不等式です. ・\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2\)
等号は\(a:x=b:y\)のときのみ
・\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2\)
等号は\(a:x=b:y=c:z\)のときのみ
・\((a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\geqq(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)^2\)
等号は\(a_1:x_1=a_2:x_2=\cdots=a_n:x_n\)のときのみ
但し, \(a, b, c, x, y, z, a_1, \cdots, a_n, x_1, \cdots, x_n\)は実数. 利用する例などは 前回の記事 を参照してください. 証明. 1. ラグランジュの恒等式の利用
ラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)=\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k \right)^2+\sum_{1\leqq k (この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a 飽きっぽいので、日記が続けられないのがなんともはや。 小西 統合医療 内科の治療は続けてます。 キレート剤飲み続けたおかげで、水銀の値はグッと下がった! Ras2014 – 2014年 沖縄・琉球発 感情ストレスマネジメント. キレート剤と一緒にミネラルも飲んでたけど、何故かキレート剤飲むと元気がなくなるの・・・ やっとキレート剤とさよならしたけど、踊りに行かない、行けないせいか元気が今一つでない。寝転がって携帯ばかりみてたら、右肩が四十肩に!! 今はかなり可動域が回復しつつあるけど、リハビリが欠かせない。 フル スペクトラム (小麦粉アレルギーのサプリ)なくても、 PMS が起こらなくなって喜んでたら、同居を始めた老母がパン食派で、付き合って毎日食パン食べてたら、 PMS 再発で下腹が痛くて痛くて、耐えられないんで ロキソニン のみましたよ。乳房も痛いし、最悪❗️
ちょうどここ2年軽快してたスギ花粉症もブワッと症状が急性増悪して慌てて耳鼻科にgo! デザレックスとアラミストスプレーで今は全然症状に悩まされることなく過ごせるようになってホッ❣️ 小西 統合医療 内科のサプリは、朝1包だったドクターズエイドを朝夕にして、かわりにタチオンとグルコン酸 亜鉛 を飲みきり中止にしました。
今は小麦粉使ったパンや麺などをとにかく避けてます。 あーあ、早くサプリに頼らない生活にならないと貯金が貯まらないよー ピグ 画像一覧 メッセージ ブログランキング 公式ジャンルランキング アラフィフ 3, 516 位 全体ブログランキング 103, 071 位 アメンバー アメンバーになると、 アメンバー記事が読めるようになります アメンバー申請 小西統合医療内科診察(12回目) Lisaのリウマチ・リーキーガット症候群治療日記、ときどきスタバで一息♪ 2021年07月12日 02:25 先週、小西先生の診察がありました。新しく届いた薬のブログで「フルコナゾール」という薬を飲み始めたことを書き、痛みが増すのではとビビっています、で終わりその後の経過について書いていませんでしたが、この薬を飲み始めたら少し楽になり痛み止めの効きが良くなってきました。このことを先生に伝えると「ほぉっ!」という表情でカチャカチャとパソコンを打ち、この薬を続けるのかな?と思っていたら、「これは薬なので30日で終わりにします。以前飲んでいたキャンディバクティンに戻しましょう。」と言われたので、キ コメント 4 いいね コメント リブログ 【体質改善】デトックス? !|2017年4月1日公開ストーリーを簡単にご紹介すると、ノーム・チョムスキーを信奉するキャッシュ家の父親ベンが下は7歳から18歳までの6人の子どもを学校には通わせず、森の中で狩りをして獲た獲物で食事をし いいね コメント リブログ Yogiboがやって来た! 2015-08-01 05:32:26
オーリングテストは、欧米で行われているものと同じなのでしょうか。欧米のは、ガラスのビンに入っているアレルゲンを使うようですが、アレルギーの本に、再現性がなかったと書いてありました。 アレルギーのテストでは、食物経口負荷試験が一番信頼されているようですが、これは専門の医師の指導の下で行うことが必須のようです。
Unknown (やすひろ)
2020-06-16 23:58:50
この医者は精神的に問題がありませんか 患者を敵だと思っているようです あれだけの暴利をむさぼりとっているのですから患者からの期待値は高くなってしかるべきですが安くする気はないし患者から何か言われた瞬間から腹を立てるという未熟な男ですあいつは
やすひろさんへ (葉月)
2020-06-17 01:47:23
コメントありがとうございます。 従順な患者さんには有難い先生のようですが、標準医療外だとどうしても高額になりますね。 高額で評判がいいのは柳澤先生と京都の漢方の松本先生ですね。 年を取るとともに、精神的にも成長していただけるとあり難いですが。
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