高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. 不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツ｜数学｜苦手解決Q&A｜進研ゼミ高校講座. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
とおきます。このとき、 となります。 x>-3より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x+3=1/(x+3) ⇔(x+3)²=1 ⇔x+3=±1 ⇔x=-2(∵x>-3) よって、A+3の最小値は1であるので、求める値であるAの最小値は-2 【問題5】x>0のとき、 の最小値を求めなさい。 【解説5】 x>0より、相加相乗平均を用いて、 等号成立条件は、 x=x=1/x² ⇔x³=1 ⇔x=1 よって、求める最小値は 3
まず、 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz = (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)・・・① です。ここで、x>0、y>0、z>0の時、①の右辺は、 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx =(2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2zx)/2 ={(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2}/2≧0 となります。よって、①より x 3 +y 3 +z 3 -3xyz≧0となりますね。 式を変形して、 (x 3 +y 3 +z 3)/3≧xyz・・・② となります。 ここで、x=a 1/3 、y=b 1/3 、z=c 1/3 とおくと、②は、 (a+b+c)/3≧(abc) 1/3 となることがわかりました。 等号は、 x=y、y=z、z=xの時、すなわちa=b=cの時に成り立つことがわかります。 変数が3つの場合の相加相乗平均の証明は以上になります。 次の章では、相加相乗平均の問題をいくつか出題します。ぜひ解いてみてください! 相加平均 相乗平均 調和平均 加重平均 ２乗平均. 6:相加相乗平均の問題 では、早速相加相乗平均の問題を解いていきましょう! 問題① a>0、b>0とする。 この時、(b/a)+(a/b)≧2となることを証明せよ。 (b/a)+(a/b)≧2・√(b/a)・(a/b) (b/a)+(a/b)≧2 となります。よって示された。 問題② この時、ab+(9/ab)≧6となることを証明せよ。 ab+(9/ab)≧2・√ab・(9/ab) ab+(9/ab)≧6 となる。よって、示された。 問題③ この時、(2a+b)(2/a+1/b)≧9となることを証明せよ。 まずは、 (2a+b)(2/a+2/b)≧9 の左辺を展開してみましょう。すると、 4+(2a/b)+(2b/a)+1≧9 (2a/b)+(2b/a)≧4 より、両辺を2で割って、 (a/b)+(b/a)≧2 となります。すると、問題①と同じになりましたね。 (a/b)+(b/a)≧2・√(a/b)・(b/a) なので、 が証明されました。 まとめ 相加相乗平均の公式や使い方が理解できましたか? 相加相乗平均は高校数学で忘れがちな公式の1つ です。 相加相乗平均を忘れてしまったときは、また本記事で相加相乗平均を復習しましょう! アンケートにご協力ください!【外部検定利用入試に関するアンケート】 ※アンケート実施期間:2021年1月13日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から 10名様に500円分の図書カードをプレゼント いたします。 受験生の勉強に役立つLINEスタンプ発売中!
こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{25}$ ※以下は誤答です. $x>0$,$\dfrac{4}{x}>0$,$\dfrac{9}{x}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\displaystyle \geqq2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}\cdot2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}}=24$ このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{24}$ これは誤りです!左の等号は $x=2$ のとき,右の等号は $x=3$ のときなので,最小値 $24$ をとる $x$ が存在しません. だから等号成立確認が重要なのです. (5) $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+18}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x^{2}+8+10}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $=\dfrac{1}{3}\left(\sqrt{3x^{2}+8}+\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}\right)$ $\sqrt{3x^{2}+8}>0$,$\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}>0$,(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)より $\dfrac{x^{2}+6}{\sqrt{3x^{2}+8}}$ $\displaystyle \geqq\dfrac{1}{3}\cdot2\sqrt{\sqrt{3x^{2}+8} \cdot \dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{10}$ 等号成立は $\displaystyle \sqrt{3x^{2}+8}=\dfrac{10}{\sqrt{3x^{2}+8}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ のとき. ←確認必須 このとき最小値 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{3}\sqrt{10}}$ 練習問題 練習 $x>0$,$y>0$ とする. 相加平均 相乗平均 違い. (1) $x+\dfrac{2}{x}\geqq2\sqrt{2}$ を示せ.
ちなみに20代前半の頃、全くモテなかった私は、このような状況を目の前にした時に 『いやいや、クリスマスなんてイエス・キリストを祝う祭りだからカップルがイチャつく時期じゃないわ』 なんて、意味わからん理由で強がっていたことを今でも覚えています笑。 嫉妬心が強くなると、 それが結果的に言葉となり、人の足を引っ張る原因にも繋がることがある のです。 足を引っ張ってくる人に効果的な3つの対処法 足を引っ張られたら、自分も相手の足を引っ張り返す!
「文句は一丁前に言うのに、仕事はだらしないな」という人に遭遇しないでしょうか?会社の飲み会の席などで同僚の文句は言うものの、仕事はキチンとしないようなタイプです。努力しない、出来ないタイプにこのような人が多いのではないでしょうか? 足を引っ張る人に出会った時の対処法&対策をわかりやすく解説！｜人生好転マーチ. このような人は人を妬み、そして足を引っ張る行動に出るものです。身近にそういう人がいる時は気を付けた方が良いかもしれません。 倫理観がない 倫理観が欠落している人ほど足を引っ張ると思うな。 足を引っ張る人の特徴の一つは「倫理観がない」です。 昔Aさんから聞いた話ですが、数年単位で担当者が変わる部署で働いていた時に、前任者から仕事の引継ぎをしている時に「数年間の間に仕事が殆ど進んでいない」と感じ、色々と調べてみたのだそうです。 すると、仕事を引き継ぐ直前になり、前任者Bさんがそれまでの仕事の成果をすべて消し去っていたことが分かったのだそうです。Aさんの足を引っ張る行動に出ていたのです。 ちょうどAさんが仕事を始める頃に、それまでの仕事の成果が表れることに対しBさんは嫉妬したようなのです。結局Bさんはそれが会社にばれて、出世することは無かったのだそうです・・ Bさんには嫉妬と言う感情があったのと同時に倫理観の欠如もあったのです。足を引っ張る人の中には倫理観が欠落している人がいるのではないでしょうか? 身勝手 「身勝手」なのは足を引っ張る人の特徴の一つです。 足を引っ張る人に共通しているのは、身勝手であることではないでしょうか? 例えば、実際に聞いた話なのですが、職場にAさんBさんという退職間際の二人の女性がいたのだそうです。Aさんは仕事ぶりが真面目で、Bさんは真逆の人だったそうです。Bさんの仕事ぶりがだらしないのでAさんが指摘をすると「これで別に良いの」と言い張り仕事にならなかったのだそうです。しまいには、Aさんから指摘をされたことに腹を立て、Bさんは足を引っ張るような行動をしたのだそうです。 Bさんは誰が見ても、 身勝手な人 であり 幼稚な人 ではないでしょうか?身勝手な人は自分のプライドばかりが高く、自分の感情をコントロールすることも出来ません。結果として人の足を引っ張ること位しか出来ないのでしょう。 器が小さい 器が小さい人は足を引っ張るね。 足を引っ張る人の特徴の一つは「器が小さい」です。 足を引っ張る人を観ていると、 他人の幸せを喜べない人 が多いのではないでしょうか?
(動画ではこの記事の内容をアニメーションつきで解説しています) エンタメ業界の雇われデザイナー、せっしーです! 足を引っ張る人10の特徴 | ピゴシャチ. いきなりなんですが、 僕が最近生活しててよく思うことをちょっと言わせてください。 「他人の足を引っ張ろうとする人、まじで多すぎない…?」 ツイッターでよく起こってる炎上なんてまさにその典型だし、僕の職場の人間関係を見ていても足を引っ張りたがる人って多いんですよね。 揚げ足を取るのがとにかく好きだったり、陰口やネガティブ発言が多かったり、誰かが成功していると難癖をつけてみたり、そういう人あなたの周りにもいませんか? そういう人たちを日頃からよーく観察しているうちに、 そこにはある 一つの法則 があることに気づいたんです。 今日はきっとあなたの周りにもいる、他人の足を引っ張る人の特徴とどうすればそういう人たちから逃げることが出来るのかを一緒に考えていきます。 では参りましょう! 悪意がないパターンこそ怖い まず最初に"他人の足を引っ張る人"の定義をしておくと、悪意のあるなしに関係なく、人の成功を邪魔してくる人になるかなと思います。 悪意のあるなしにというのが結構キモで、 悪意がない(と少なからず本人は思っている)パターンがヤバいです!
ピゴシャチ 足を引っ張られて困った・・という経験をする人は多いかもしれないね。 イタチ そうだね。今も昔もそういうことは多々あるよね。 足を引っ張る人にはどのような特徴があるかな? 足を引っ張る人の特徴 他人を妬む 他人を妬む人ほど足をひっぱると思うな。 足を引っ張る人の特徴の一つは「他人を妬む」です。 会社などの組織で働いていると、足を引っ張る人がいるものです。 それまで凄く愛想がよく、自分とは仲が良い人だと思っていたら、自分の足を引っ張り始めた・・という事を多くの人が経験しているのではないでしょうか?他の人には分からないようにしながら、自分に対しては露骨に分かる形で足を引っ張るようなことをする 裏表のある人 です。 このような行動を取る心理として一番多いものは、妬みではないでしょうか?