この記事では、等差数列の問題の解き方の基本をご説明します。数列は苦手な人が多いですが、公式をきちんと理解して、しっかり解けるように勉強しましょう。 等差数列の基本 まず等差数列とは何か?ということをきちんと理解しましょう。そうすれば基本の公式もしっかり覚えて応用することができます。 ◆等差数列とは?
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 本記事では等差数列についてご紹介します。数列は多くの中学生・高校生が苦手とする単元ですが、なぜ苦手なのか考えたことはありますか? それは、公式を暗記するだけで意味を説明することができないからです。その結果、前提が変わったり、平方数などの見慣れない数が出て来たりする問題に太刀打ちできなくなってしまいます。 数列はセンター試験でほぼ毎年出題される、非常に重要な単元です。 そこでこの記事では、もっとも初歩である「等差数列」を題材に、公式の意味や問題の解き方を説明していきます。 数列が苦手だったために志望校に落ちてしまった…なんてことがないよう、しっかり勉強しましょう! 等差数列とは? 等差数列の公式まとめ（一般項・和の公式・証明） | 理系ラボ. 「等差数列とはなにか」ということがきちんと理解できていれば、あとで紹介する公式は自然に導けるので、覚える必要がありません。反対に、これが理解できていない限り、等差数列をマスターすることは絶対にできません。 数学のどんな単元においても、定義は非常に大事です。きちんと理解しましょう! 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」 簡単にいえば、等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」です。 たとえば、 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(3)を足し続けていますね。こういったものが等差数列です。 一定の数を足し続けているわけですから、隣同士の項(2と5、14と17など)はその一定の数(3)だけ開いているわけです。 これが、「等差数列」、つまり「差が等しい数列」と呼ばれる所以です。 等比数列と何がちがう? 等差数列と一緒によく出てくるのが等比数列ですが、等差数列とは何が違うのでしょうか。 等差数列とは「はじめの数に、一定の数を足し続ける数列」、 一方、 等比数列とは「はじめの数に、一定の数をかけ続ける数列」 です。 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… この数列は、はじめの数(2)に、一定の数(2)をかけ続けていますね。こういったものが等比数列です。 等差数列と等比数列は見間違えやすいので、常に注意してください。 等差数列の公式の意味を説明!
そうすれば公式を忘れることもなくなりますし,自分で簡単に導出することができます。 等差数列をマスターして,数列を得点源にしてください!
ちなみに1つ1つ地道に足していくのは今回はナシです。 ここで、前後ひっくり返した式を用意してみましょう。つまり、 S = 1 + 3 + 5 + 7 +9+11+13+15+17① S =17+15+13+11+9+ 7 + 5 + 3 + 1 ② ①と②の縦にそろっている数(1と17、3と15など)の和がすべて18になっているのに気づきましたか? ①+②をすると、 2S =18+18+18+18+18+18+18+18+18 =18×9 となるのがわかります。この18×9とはつまり、 [初項と末項を足した数]×[項数] です。 つまり、この数列では、 2S = [初項と末項を足した数]×[項数] ∴S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数]) となるわけです。 そして、この「S = ½ ( [初項と末項を足した数]×[項数])」はすべての等差数列で使えます。一般化した例で考えてみましょう。 ※この説明は「... 」が入っている時点で数学的に厳密ではありません。興味のある方は数学的に厳密な証明を考えてみてください。シグマを使うやり方、項数が偶数である場合と奇数である場合に分けるやり方などがあります。 等差数列の問題を解いてみよう では、等差数列の公式をさらったところで、問題に取り組んでみましょう。
4 等差数列の性質(等差中項) 数列 \( a, \ b, \ c \) が等差数列ならば \( b – a = c – b \) ゆえに \( 2b = a+c \) このとき,\( b \) を \( a \) と \( c \) の 等差中項 といいます。 \( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \) より,\( b \) は \( a \) と \( c \) の 相加平均 になります。 3. 等差数列の和 次は等差数列の和について解説していきます。 3. 1 等差数列の和の公式 等差数列の和の公式 3. 2 等差数列の和の公式の証明 まずは具体的に 「初項 1 ,公差2 ,項数10 の等差数列の和S 」 を求めることを考えてみましょう。 次のように,ますSを並べ,その下に和の順序を逆にしたものを並べます。 そして辺々を足します。 すると,「2S=20が10個分」となるので \( 2S = 20 \times 10 \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S} = \frac{1}{2} \times(20 \times 10) \color{red}{ = 100} \) と求めることができました。 順序を逆にしたものと足し合わせることで,和が同じ数字が項の数だけ出てくるので,数列の和を求めることができます! この考え方で,一般化して等差数列の和を求めてみましょう。 初項 \( a \),末項 \( l \),項数 \( n \) の等差数列の和を \( S_n \) とすると 右辺は,\( a + l \) を \( n \) 個加えたものなので \( 2 S_n = n (a+l) \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n (a + l)} \cdots ① \) また,\( l \) は第 \( n \) 項なので \( l = a + (n-1) d \) これを①に代入すると \( \displaystyle \color{red}{ S_n = \frac{1}{2} n \left\{ 2a + (n-1) d \right\}} \) が得られます。 よって公式②は①を変形したものです。 3. 等差数列を徹底解説！一般項の求め方や和の公式をマスターしよう！ | Studyplus（スタディプラス）. 3 等差数列の和を求める問題 それでは,公式を使って等差数列の和を求める問題にチャレンジしてみましょう。 (1) は初項・公差がわかっているので,公式①で一発です。 (2) は初項1,公差3,末項100とわかりますが, 項数がわかりません 。 まずは項数を求めてから,公式で和を求めます 。 (1) 初項20,公差3,項数10より \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 10 \left\{ 2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 3 \right\} \\ & \color{red}{ = 335 \cdots 【答】} (2) 初項1,公差3であるから,末項100が第 \( n \) 項であるとすると \( 1 + (n-1) \cdot 3 = 100 \) ∴ \( n = 34 \) よって,初項1,末項100,項数34の等差数列の和を求めると \displaystyle \color{red}{ S} & = \frac{1}{2} \cdot 34 (1 + 100) \\ & \color{red}{ = 1717 \cdots 【答】} 等差数列の和の公式の使い分け 4.
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★ このページは数列の一番最初のページで,等差数列の一般項と和の基本概念を解説します. 等差数列の導入と一般項 数列の中で,差が等しい数列のことを等差数列といいます.その等しい差を 公差 といい,英語でdifferenceというので,よく $d$ と表します.以下の図のようになります. $n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の 一般項 になります. $a_{n}$ を求めるには,上の赤い箇所をすべて足せばいいので,等差数列の一般項は以下になります. ポイント 等差数列の一般項 (基本) $\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ しかし,$a_{n}$ を求めるために,わざわざ $a_{1}$ から足さねばならない理由はありません. 上の図のように,途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から足し始めてもいいわけです.間は $n-k$ 個なので,一般項の公式を書き換えます. ポイント 等差数列の一般項(途中からスタートOK) $\displaystyle \boldsymbol{a_{n}=a_{k}+(n-k)d}$ ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます. 等差数列の一般項の求め方. $k=1$ を代入したのが,$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ になります.例えば $7$ 番目がわかっている場合は,$\displaystyle a_{n}=a_{7}+(n-7)d$ を使えば速いですね. 等差数列の和 次に等差数列の和ですが,$d>0$ のときに和がどうなるかを図示してみます. 高さが数列になっていて,横の長さが $1$ の長方形を最初から並べました. この総面積が等差数列の和になるはずです.これを求めるためには,同じものを上に足して2で割ればいいはずです. 長方形の面積 $(a_{1}+a_{n})n$ を出して $2$ で割ればいいので,等差数列の和の公式は以下になります( $d < 0$ のときも同じでしょう). 等差数列の和 $S_{n}$ $S_{n}=\dfrac{1}{2}(a_{1}+a_{n})n$ 管理人は, $\{$ (初めの数) $+$ (終わりの数) $\} \times$ (個数) $\div 2$ という中学受験の公式が強く印象に残っていて,公式はこれのみで対応しています.
身体にいいからと始めたことや スキルを上げるために始めたこと。 欲望のおもむくままやめられなくなったことも いつしか身についてしまった癖のような習慣。 ぼくのように怠け者で楽をしたがる人間は 悪い習慣はカンタンについてしまうし 良い習慣を身につけるには強い意志が必要。 両者は入口は違うけど、出口は同じ。 いったん習慣にしてしまえば、 どちらも驚くほど自然にできています。 食べたものが自分の身体の一部になるように 毎日の習慣が自分を作っていると言う現実。 悪い習慣に作られる自分はこの先どうなるのか? なにかおぞましいものを感じます。 何気なくやっていること、考えていることで ああなったり、こうなったりする。 人生の質を高めるのは才能ではなく習慣です。 これまでのじぶんがこれまでの習慣のなりの果て ならば、じぶんの未来を決めるのも習慣です。 いまの自分に満足していないのなら じぶんを変えるしかありません。 じぶんを変えるには習慣を変えるしかありません。 なにかを始めてみるのも なにかをやめてみるのも なにかの順番を変えてみるのも なにかひとつプロセスに加えるのも削るのも 人生は思い通りにならないものですが 習慣はじぶんを思い通りにさせてくれるひとつです。 きょうもよい1日を! きょうもじぶんは習慣に作られています。 ————————– — 初めは人が習慣を作り、それから習慣が人を作る。(ジョ ン・ドライデン:イギリスの詩人)
体育会系のノリのいいタイプ、文化系でおとなしいタイプ、ちょっと悪ぶった不良グループ……など、類するエネルギー同士が引き合っていたのを思い出します。 わたしたちは、付き合う人や環境から強く影響を受け自分がつくられるし、一方で同じような人と自然に集まるという法則のなかで生きています。だからこそ、 「自分を変えたい」と思ったときに、付き合う人や環境を選んでいくことに意味がある のです。なぜなら、一緒にいる人たちの感情、思考、行動習慣などに影響を受けるからです。まさに鶏と卵の関係で、自分と環境をどのように変えていけばいいのかはセットで考えたほうがいいということです。 今回は、小さな積み重ねや習慣の大切さを、故事や名言から紐解いてご紹介しました。みなさんの心に響き、自分自身を見直すきっかけになれば幸いです。 【今回の習慣化ルール】 ・自分自身と優れた結果は、一時的な行動ではなく習慣からつくられていく ・わたしたちの毎瞬における行動や言動が、習慣とその人のオーラをつくる ・習慣は、個人だけで決まるものではなく、環境から強く影響を受けてつくられていく 30日で人生を変える「続ける」習慣 古川武士 日本実業出版社(2010)
毎日、1時間の運動を取り入れたら、運動していない時と比べてどうでしょう? 誰かを喜ばせるために、毎日1時間の時間をたった1人のために使ったら、どうなっていくでしょう? 意識して行なう習慣は、パワーになります。 詩人"ジョン・ドライデン"はこう言います。 「はじめは人が習慣を作り、それから習慣が人を作る」 良い習慣を身につけていきたいですね♪ __________ 「魂が震える話」 発行人:けい
あなたには普段から続けている習慣がありますか? もっとも、習慣だから、ご自分では特に意識されていないかもしれませんね。習慣はその人を形づくる重要なものです。その人を良い方向にも悪い方向にも振り向ける力を持っているのです。 世の偉人・有名人は、習慣を上手に利用して自分の人生を切り開いてきました。あなたも習慣についてじっくりと考えて、ご自分の人生を良い方向に向けて切り開いてみませんか?
知っていますか?
名言メッセージ 2019-05-29 2019-07-27 英語で学ぶ!心に響く名言メッセージ 59 今日の名言メッセージは、アリストテレスより。 We are what we repeatedly do. Excellence, then, is not an act, but a habit. 日本語訳は 人は繰り返し行うことの集大成だ。だから、優秀さとは行為ではなく習慣である。 古代ギリシアの哲学者、アリストテレスの言葉です。 習慣は人をつくる 毎日の習慣の積み重ねが、人格をつくる。 夢やビジョン「なりたい姿」を叶えたいなら、習慣を見直すことをオススメします。 小さな種を蒔いて、大きな木を育てましょう。 本日のまとめ ココがポイント 現状を変えたいのなら、今すぐ習慣を見直してみよう。 - 名言メッセージ - アリストテレス, 忍耐-正直, 豊かさ-発展