いままでの議論から分かるように,線形定常な連立微分方程式の解法においては, の原像を求めることがすべてである. そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理 である.よく知られているように, の行列式を の固有多項式あるいは特性多項式という. が 次の行列ならば,それも の 次の多項式となる.いまそれを, とおくことにしよう.このとき, が成立する.これが Cayley-Hamilton の定理 である. 定理 5. 1 (Cayley-Hamilton) 行列 の固有多項式を とすると, が成立する. 証明 の余因子行列を とすると, と書ける. の要素は高々 次の の多項式であるので, と表すことができる.これと 式 (5. 16) とから, とおいて [1] ,左右の のべきの係数を等置すると, を得る [2] .これらの式から を消去すれば, が得られる. 式 (5. 19) から を消去する方法は, 上から順に を掛けて,それらをすべて加えればよい [3] . ^ 式 (5. 16) の両辺に を左から掛ける. 実際に展開すると、 の係数を比較して, したがって の項を移項して もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し, の順に逐次消去してもよい. この方法をまとめておこう. と逐次多項式 を定義すれば, と書くことができる [1] . ただし, である.この結果より 式 (5. 初等整数論/合成数を法とする合同式 - Wikibooks. 18) は, となり,したがってまた, を得る [2] . 式 (5. 19) の を ,したがって, を , を を置き換える. を で表現することから, を の関数とし, に を代入する見通しである. 式 (5. 21) の両辺を でわると, すなわち 注意 式 (5. 19) は受験数学でなじみ深い 組立除法 , にほかならない. は余りである. 式 (5. 18) を見ると が で割り切れることを示している.よって剰余の定理より, を得る.つまり, Cayley-Hamilton の定理 は 剰余の定理 や 因数定理 と同じものである.それでは 式 (5. 18) の を とおいていきなり としてよいかという疑問が起きる.結論をいえばそれでよいのである.ただ注意しなければならないのは, 式 (5. 18) の等式は と と交換できることが前提になって成立している.
5. 1 [ 編集] が奇素数のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で と互いに素なものは と一意的にあらわせる。 の場合はどうか。 であるから、 の位数は である。 であり、 を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものの個数は 個である。したがって、次の事実がわかる: のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類で 8 を法として 1, 3 と合同であるものは と一意的にあらわせる。 に対し は 8 を法として 7 と合同な剰余類を一意的に表している。同様に に対し は 8 を法として 5 と合同な剰余類を一意的に表している。よって2の冪を法とする剰余類について次のことがわかる。 定理 2. 制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理 - Wikibooks. 2 [ 編集] のとき、位数が となる剰余類 が存在する。さらに を法とする剰余類は と一意的にあらわせる。 以上のことから、次の定理が従う。 定理 2. 3 [ 編集] 素数冪 に対し を ( または のとき) ( のとき) により定めると で割り切れない整数 に対し が成り立つ。そして の位数は の約数である。さらに 位数が に一致する が存在する。 一般の場合 [ 編集] 定理 2. 3 と 中国の剰余定理 から、一般の整数 を法とする場合の結果がすぐに導かれる。 定理 2. 4 [ 編集] と素因数分解する。 を の最小公倍数とすると と互いに素整数 に対し ここで定義した関数 をカーマイケル関数という(なお と定める)。定義から は の約数であるが、 ( は奇素数)の場合を除いて は よりも小さい。
1. 1 [ 編集] (i) (反射律) (ii) (対称律) (iii)(推移律) (iv) (v) (vi) (vii) を整数係数多項式とすれば、 (viii) ならば任意の整数 に対し、 となる が存在し を法としてただ1つに定まる(つまり を で割った余りが1つに定まる)。 証明 (i) は全ての整数で割り切れる。したがって、 (ii) なので、 したがって定義より (iii) (ii) より より、定理 1. 1 から 定理 1. 1 より マイナスの方については、 を利用すれば良い。 問 マイナスの方を証明せよ。 ここで、 であることから、 とおく。すると、 ここで、 なので 定理 1. 6 より (vii) をまずは証明する。これは、 と を因数に持つことから自明である((v) を使い、帰納的に証明することもできる)。 さて、多変数の整数係数多項式とは、すなわち、 の総和である。先ほど証明したことから、 したがって、(v) を繰り返し使えば、一つの項についてこれは正しい。また、これらの項の総和が なのだから、(iv) を繰り返し使ってこれが証明される。 (viii) 定理 1. 初等整数論/べき剰余 - Wikibooks. 8 から、このような が存在し、 を法として1つに定まることがすぐに従う(なお (vi) からも ならば であるから を法として1つに定まることがわかる)。 先ほどの問題 [ 編集] これを合同式を用いて解いてみよう。 であるから、定理 2.
(i)-(v) は多項式に対してもそのまま成り立つことが容易にわかる。実際、例えば ならば となる整数係数の多項式 が存在するから が成り立つ。 合同方程式とは、多項式 とある整数 における法について、 という形の式である。定理 2. 1 より だから、 まで全て代入して確かめてみれば原理的には解けるのである。 について、各係数 を他の合同な数で置き換えても良い。特に、法 で割り切れるときは、その項を消去しても良い。この操作をしたとき、 のとき、この合同式を n 次といい、 合同式 が n 次であることの必要十分条件は となる多項式 の中で最低次数のものが n 次であることである。そのような の最高次、つまり n 次の係数は で割り切れない(割り切れるならば、その係数を消去することで、さらに低い次数の、 と合同な多項式がとれるからである)。 を素数とすると、 が m 次の合同式で、 が n 次の合同式であるとき は m+n 次の合同式である。実際 となるように m次の多項式 と n 次の多項式 をとれば となる。ここで の m+n 次の係数は である。しかし は m 次の合同式で、 は n 次の合同式だから は で割り切れない。よって も で割り切れない(ここで法が素数であることを用いている)。よって は m+n 次の合同式である。 これは素数以外の法では一般に正しくない。たとえば となる。左辺の 1 次の係数同士を掛けると 6 を法として消えてしまうからである。 素数を法とする合同方程式について、以下の基本的な事実が成り立つ。 定理 2. 2 (合同方程式の基本定理) [ 編集] 法 が素数のとき、n 次の合同式 は高々 n 個の解を持つ。もちろん解は p を法として互いに不合同なものを数える。より強く、n 次の合同式 が互いに不合同な解 を持つならば、 と因数分解できる(特に である)。 n に関する数学的帰納法で証明する。 のときは と合同な 1次式を とおく。 であるから 定理 1. 8 より、 が と合同になるような が を法として、ただひとつ存在する。すなわち、 はただひとつの解を有する。そしてこのとき となる。 より定理は正しい。 n-1 次の合同式に対して定理が正しいと仮定し、 を n 次の合同式とする。 より となる多項式 が存在する。 より を得る。上の事実から は n-1 次の合同式である。 は素数なのだから、 定理 1.
4 [ 編集] と素因数分解する。 を法とする既約剰余類の個数は である。 ここで現れた を の オイラー関数 (Euler's totient) という。これは 円分多項式 の次数として現れたものである。 フェルマー・オイラーの定理 [ 編集] 中国の剰余定理から、フェルマーの小定理は次のように一般化される。 定理 2. 5 [ 編集] を と互いに素な整数とすると が成り立つ。 と互いに素な数で 1 から までのもの をとる。 中国の剰余定理から である。 はすべて と互いに素である。さらに、これらを で割ったとき余りはすべて異なっている。 よって、これらは と互いに素な数で 1 から までのものをちょうど1回ずつとる。 したがって、 である。積 も と互いに素であるから 素数を法とする場合と同様 を と互いに素な数とし、 となる最小の正の整数 を を法とする の位数と呼ぶ。 位数の法則 から が成り立つ。これと、フェルマー・オイラーの定理から位数は の約数であることがわかる(この は、多くの場合、より小さな値をとる関数で置き換えられることを 合成数を法とする剰余類の構造 で見る)。
にある行列を代入したとき,その行列と が交換可能のときのみ,左右の式が等しくなる. 式 (5. 20) から明らかなように, と とは交換可能である [1] .それゆえ 式 (5. 18) に を代入して,この定理を証明してもよい.しかし,この証明法に従うときには, と の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない. で であるから と は可換, より,同様の理由で と は可換. 以下必要なだけ帰納的に続ければ と は可換であることがわかる. 例115 式 (5. 20) を用いずに, と が交換可能であることを示せ. 解答例 の逆行列が存在するならば, より, 式 (5. 16) , を代入して両辺に を掛ければ, , を代入して、両辺にあらわれる同じ のべき乗の係数を等置すると, すなわち, と は可換である.
69 ID:tuOMII090 ラブコメ要素ないのが本当いいわ 162: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:50:12. 63 ID:YgFBC4Tc0 >>156 ヒカルと塔屋 160: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:49:44. 05 ID:O18X3ION0 シーンではないけどサイが角脇ボコボコにしてくれたおかげで角脇がプロ試験1年保留するのが後々凄い伏線だった事が好き もし角脇が受けてたらヒカルが落ちていた可能性が高いから 161: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:49:53. 79 ID:HyymE35Ga 越智が和谷... なんてプライドだって言うとこすき 164: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:50:27. 66 ID:zvVbqgWT0 >>161 逆ゥー 167: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:51:13. 80 ID:d0Em+5GUM >>161 和谷乙 163: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:50:14. 67 ID:IZMU+iRl0 塔矢名人とsaiのデュエルが終わったあとにヒカルがこうすればもっと早く勝ててたみたいな指摘してサイがハッとするシーンも好きやわ 168: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:51:20. 17 ID:O18X3ION0 >>163 あれサイが負けてた手をヒカルが見つけるんだよ 174: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:52:18. 89 ID:IZMU+iRl0 >>168 サイが勝ったのは覚えてたけど微妙に記憶が改竄されてたわ 165: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:50:53. 72 ID:iicrEsM9r 176: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:52:29. 三大ヒカルの碁の名シーン「ここで僕が投了（ﾀｰﾝ!）」「越智、黙れ（ﾄﾞﾝ!）」 : GOD速報. 70 ID:cPZyAvYU0 >>165 草 懐かしい 170: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:51:30. 18 ID:0Wy06eZT0 実際名シーン多すぎる 171: 風吹けば名無し 2019/05/29(水) 06:51:30. 31 ID:k2fxveLw0 本因坊のジジイが碁は一人では打てんのじゃよって言うシーンだろ
63 ID:cd0z2z4cM アキラ「進藤のその髪型どうなん?」 ヒカル「お前のもどうかと思うで」 277 風吹けば名無し 07:09:17. 04 ID:xyHdU3sw0[8/9] また読みなおしたいわ 引用ttp
80 ID:d0Em+5GUM >>161 和谷乙 163 風吹けば名無し 06:50:14. 67 ID:IZMU+iRl0[4/5] 塔矢名人とsaiのデュエルが終わったあとにヒカルがこうすればもっと早く勝ててたみたいな指摘してサイがハッとするシーンも好きやわ 168 風吹けば名無し 06:51:20. 17 ID:O18X3ION0[3/14] >>163 あれサイが負けてた手をヒカルが見つけるんだよ 177 風吹けば名無し 06:52:29. 86 ID:FswjBq8t0[2/2] 越智が社との対局を懇願するシーン 190 風吹けば名無し 06:54:48. 70 ID:0BvDobLx0[1/2] ダケさんが「勝負は最後まで笑っちゃいけねぇぜぇ~」みたいなセリフを 後にヒカルが継承していくシーンすき 191 風吹けば名無し 06:54:51. 05 ID:kzsZL/BH0[2/2] 封じ手はきみぃ… 初めてじゃろ? 205 風吹けば名無し 06:56:58. 08 ID:uMc6zDXX0[5/8] 4人持碁のシーンの アキラとヒカルのシンクロ好き 220 風吹けば名無し 06:59:07. 29 ID:98HTQryg0 塔矢が複数人相手して全員持碁にしたエピソードすこ 227 風吹けば名無し 06:59:58. 18 ID:E/b4QBVo0 碁は2人で打つものなんじゃよ。 碁は1人では打てんのじゃ。2人いるんじゃよ。 1人の天才だけでは名局は生まれんのじゃ。 等しく才たけた者が2人要るんじゃよ、2人。 2人揃ってはじめて・・・神の一手に一歩近付く。 230 風吹けば名無し 07:00:51. 58 ID:2oVrIoBZx[5/8] >>227 これベスト3には入るわ 232 風吹けば名無し 07:01:03. 11 ID:x7YEbGs60[9/17] >>227 これといい囲碁に限らずどんなスポーツにも刺さる名言だよな 244 風吹けば名無し 07:02:20. 13 ID:O18X3ION0[7/14] >>227 これクリティカル 後日にヒカルがお店で神様が対戦相手が欲しくて人間に囲碁教えて切磋琢磨させてるって話をする伏線でもある 231 風吹けば名無し 07:00:52. 「ヒカルの碁」のセリフやシーンで一番忘れられないとこｗｗｗｗｗ（画像あり） : ちゃん速. 64 ID:gulQ8bgs0[2/2] 棋院のエリート組みたいな雰囲気すこ 「ようこそ1組へ」のとこほんま興奮したわ 265 風吹けば名無し 07:06:49.
「ヒカルの碁」のセリフやシーンで一番忘れられないとこwwwww(画像あり) スポンサードリンク 4: 2018/02/06(火) 20:41:01. 41 千年 8: 2018/02/06(火) 20:41:20. 28 >>4 これ大好き 5: 2018/02/06(火) 20:41:15. 01 さい登場シーンやろなぁ 9: 2018/02/06(火) 20:41:58. 69 奈瀬ちゃん可愛すぎひん? 10: 2018/02/06(火) 20:42:56. 77 古い棋譜に涙するとこ 15: 2018/02/06(火) 20:44:43. 50 ぶった切る! 21: 2018/02/06(火) 20:45:57. 08 オレハインセイダゾ 22: 2018/02/06(火) 20:46:23. 88 君が? いつかと言わず 今から打とうか? 23: 2018/02/06(火) 20:46:28. 51 囲碁は二人でやるものだから2人の天才が揃って初めて神の一手に近づくとか言ってた桑原の爺さん 26: 2018/02/06(火) 20:47:28. 49 サイいなくなった意味わからんわ 35: 2018/02/06(火) 20:48:37. 98 >>26 自分を超えるかもしれない、また継いで行くだろう棋士に出会えたと自覚してしまったからやぞ 45: 2018/02/06(火) 20:50:03. 14 >>35 そのわりにヒカルがショボいまま終わるやん? あんな終わり方やとサイいなくなった意味がわからない 48: 2018/02/06(火) 20:50:47. 92 >>45 ヒカルは負けたけど評価はむしろ高まるみたいなこと作中で言われてたやん 27: 2018/02/06(火) 20:47:34. 78 ラスト半目で負けたやつ 初手天元 28: 2018/02/06(火) 20:47:35. 29 プロの道は長い…一生勉強なんだ! 29: 2018/02/06(火) 20:47:38. 80 「千年」よりも「俺もそう思う」のほうがすこ 31: 2018/02/06(火) 20:47:52. 99 最期どうやって終わったんやったっけ 44: 2018/02/06(火) 20:49:54. 34 >>31 若獅子戦で塔矢とヒカルが対局開始するぞ…!ってとこ 32: 2018/02/06(火) 20:47:59.
64 名探偵ワイ「妙だな・・・」 80: 2021/05/24(月) 21:45:13. 24 なろうならsaiに打たせて無双して俺TUEEEEやるよな 引用元:
81 ID:A120yHDf0 院生師範の 人生遠回りも悪くない 的なやつ 42: 2021/05/24(月) 21:41:18. 98 ID:VN5ai5h5r 遠い過去と未来を繋ぐため 45: 2021/05/24(月) 21:41:31. 92 ID:otdBnfqHM 和谷じゃなくて越智黙れか 50: 2021/05/24(月) 21:41:51. 69 ID:dO9M73nW0 桑原じいさんの「碁は1人では打てんのじゃ」みたいなところ 53: 2021/05/24(月) 21:42:19. 48 ID:AYUKZwvs0 このシーンって言うほどネタにするとこちゃうよな 普通に読んでるとき別に気にならんかったわ 57: 2021/05/24(月) 21:42:43. 95 ID:h+jQt7150 >>53 これどんなシーンなんや 81: 2021/05/24(月) 21:45:13. 89 ID:K7WhYU0s0 >>57 サイが憑依したヒカルvsアキラ戦の昔の棋譜をキノコに見せたシーンの最後 ネタにはされてるがぶっちゃけそんな盛り上がるシーンでもない 56: 2021/05/24(月) 21:42:33. 80 ID:K7WhYU0s0 羽賀がトイレに籠もって泣きながら「あの時こう打ってれば」ってセリフやろ 61: 2021/05/24(月) 21:43:08. 47 ID:DXMw3tb20 名局は一人では産まれんのじゃ… 63: 2021/05/24(月) 21:43:15. 97 ID:lBoFM9F80 出典:ヒカルの碁 69: 2021/05/24(月) 21:44:05. 17 ID:VhJUA0Fc0 >>63 結局ヒカルのリーグ入りとか書かずに終わったのひどい🥺 64: 2021/05/24(月) 21:43:24. 17 ID:eCUyCRuy0 黙れ越智 も名言やろ 68: 2021/05/24(月) 21:43:47. 74 ID:dMDeZRprp でも全員韓国人より弱いんだよね 72: 2021/05/24(月) 21:44:27. 79 ID:hcYTHdBT0 >>68 リアルはもっと弱いからね… 71: 2021/05/24(月) 21:44:25. 42 ID:yTEEI9vf0 こっちにしたまえ緒方くん そんなアメしゃぶってないで 74: 2021/05/24(月) 21:44:51.