ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね! 階差数列とは?
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「階差数列」について解説します 。 今回は 階差数列の一般項の求め方から,漸化式の解き方まで,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 階差数列とは? まずは 階差数列 とは何か?ということを確認しましょう。 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差 \( b_n = a_{n+1} – a_n \) を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。 【例】 \( \left\{ a_n \right\}: 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \) の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は となり,初項1,公差2の等差数列。 2. 階差数列 一般項 ｎが１の時は別. 階差数列と一般項 次は,階差数列と一般項について解説していきます。 2. 1 階差数列と一般項の公式 階差数列と一般項の公式 注意 上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。 なぜなら,\( n=1 \) のとき,シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい,数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。 \( n = 1 \) のときは,求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。 Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「 Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式) 」の記事で詳しく解説しているので,チェックしておきましょう。 2. 2 階差数列と一般項の公式の導出 階差数列を用いて,なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。 【証明】 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると これらの辺々を加えると,\( n = 2 \) のとき よって \( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \) 以上のようにして公式を得ることができます。 3.
難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
階差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 階差数列まとめ 【階差数列と一般項の公式】 【漸化式と階差数列】 \( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n)} \) (\( f(n) \) は階差数列の一般項) 以上が階差数列の解説です。 階差数列については,公式の導出の考え方が非常に重要です。 公式に頼るだけでなく,公式の導出と同様の考え方で,その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法 階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう. 階差数列とは 与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります. 数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1, 2, 3, \cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の 階差数列 といいます. つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです. まとめると, 階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかる ということです. 階差数列と一般項 実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう. 階差数列とは？和の公式や一般項の求め方、漸化式の解き方 | 受験辞典. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます. 階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ. これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です. 注意点 ・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです. ・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. 階差数列の全てをわかりやすくまとめた（公式・漸化式・一般項の解き方） | 理系ラボ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
ダークブラウンの床色の部屋って、「暗くならないように。」とか「重苦しくないように。」と薄い色や明るい色のカーテンをコーディネートしがちですが、赤や青や緑のカーテンも合うのがわかりましたよね。 特に、カラフルなソファやディスプレイとカーテンの色を合わせる手法は、日本のインテリアではあまり見ることができないコーディネートの仕方のような…。 この方法を知ってるのと、そうでないのとでは、「カラー使いの幅が50倍くらい変わるのでは? 」と、大変勉強になった私です。 [参照元: Houzz Inc] 同じテイストの他の記事も読んでみる
仕事や家事など日々の疲れを癒してくれる自宅のインテリア。ナチュラルで明るい雰囲気、ビビッドでポップな雰囲気など様々なインテリアがありますが、ダークブラウンで統一されたベーシックながらもお洒落でモダンなイメージは心を穏やかにしてくれるインテリアコーディネートです。 今回は、そのようなダークブラウンでトータルコーディネートしたお部屋の魅力や、ダークブラウンで統一する際のインテリアポイント、そしてa. flatで叶えたダークブラウンのお洒落なインテリア実例をご紹介します。 INDEX 穏やかな時を演出する ダークブラウンで統一したインテリアコーディネート シックな大人っぽさと自然の温もりを併せ持つ ダークブラウン 雄大な自然のエネルギーから成る色 高級感のある落ち着いた空間を生むダークブラウン ダークブラウンが一層引き立つ5つのインテリアポイント 1. ダークブラウンの家具に合う色Best4とコーディネート実例35選 | インテリアFORCE. ダークブラウンのグラデーションを愉しむ 2. 異なる素材を組み合わせてお部屋に軽さとリズムを 3. 開放的なデザインの家具を選ぶ 4. 壁にポイントを作りお部屋にメリハリをつける 5.
教えて!住まいの先生とは Q ダークブラウンの家具に合うカーテンについて ①ダークブラウンの家具にはダークブラウンのカーテンが合うらしいですが、 当方20代前半女性一人暮らしの部屋には暗いでしょうか? ②となる と、ベージュかアイボリーが無難ですがどちらかで迷っています。 アイボリーのほうが明るいですよね。 ちなみに壁の色は壁1面だけグレー、残りは白です。カーテンをつける壁の色は白です。 床は普通のフローリングですがどちらが良いでしょうか?
全く同じ色を使ったインテリアアイテムを探すのは大変そうですが、揃えるとこんなに素敵になるんですね!! ソファ:グレー ラグ:ホワイト&ダークレッド ダーク色でまとめた空間にダークレッドをアクセントカラーにしたレトロモダンなリビングのコーディネート例。 カジュアル過ぎない赤の使い方がおしゃれ♪ 暗い色の面積が多い割に、重苦しい雰囲気がしないのは、ラグにホワイト系が使ってあるからかな? ソファ:薄いベージュ ラグ:薄いベージュ 家具:黒、ダークブラウン アクセントクロスとカーテンにグレーを使った上品な印象のリビングの例。 ホワイト×グレーの部屋はすっきりとした印象になりますが、リラックス感は薄れてしまうので、ソファをホワイトではなく、ちょっぴり黄みがかったクリーム系にすることで温かみをプラス。 クッションにもオレンジや黄色などの暖色を使うことで、"すっきり"と"くつろぎ"のバランスが絶妙に取れていますね。 カーテン:ライトグレー ソファ:ブラック、ホワイト ダークブラウンの床色のリビングで典型的なモダンインテリアを実現した例。 ラグにちょっぴり暖かみのある色を選んで、モノトーン独特の無機質な印象を薄くしたコーディネートの仕方は、リビングにくつろぎ感を重視する方の参考になりそう。 このラグがグレーやホワイトだったら、よそよそし過ぎる気がしませんか? ラグ:紫 生活感のある暖かい雰囲気のリビングダイニングのコーディネート例。 これまで紹介してきたグレーのカーテンのコーディネートとはことなり、このインテリアは、どこか民族っぽい印象も。 天井にダークブラウンの梁が見える部屋ですが、真っ直ぐな天井で真似しても大丈夫そうですね。 4-2. ダークブラウンのインテリアコーディネートで叶える 大人のお洒落なお部屋づくり | a.flat その暮らしに、アジアの風を - 目黒通り・新宿・大阪梅田(グランフロント北館) -. 【ホワイト】カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 カーテン:ホワイト 真っ白という印象が濃い、エレガントなリビングコーディネートの例。 部屋のほとんどが白なので眩しい!!! ホワイトのコーディネートって、すっきりとした印象ですが、ここまで色が無いと、どこか冷たく感じてしまいますね。 4-3. 【ブラック】カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 カーテン:黒 ラグ:黒 家具:シルバー モノトーンでまとめたモダンなリビングのコーディネート例。 生活感の少ないインテリアが好きな方は、この事例に引かれるかも!! 1個前のホワイトベースのインテリアのように寒々しい雰囲気にならないように、ダークイエローのクッションをプラスして、ちょっぴり暖かみをプラスしてあるのがポイントです。 いかがでしたか?
寒色カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 2-1. 【青色】カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 カーテン:ブルー ソファ:ブルー 家具:ライトグレー ブルーをメインカラーに使ったすっきりとした印象のリビングコーディネート例。 青の面積が多い割に寒い印象が少ないのは、ラグや一人掛けソファにちょっぴり暖色が入っているからですね。 木の素材を生かしたリビングテーブルで更に温かみをプラスする方法も真似したいポイントです。 カーテン:ダークブルー ソファ:ダークブルー ラグ:ダークブルー メディアでも最近取り上げられることが多くなったモロカン風リビングコーディネートの例。 異国情緒あふれるインテリアは斬新で、リゾートっぽい雰囲気も。 カーテン、クッション、ラグのデザインは"モロッコ"や"モロカン"で探すと、ネットで見つけることができますよ。 ソファ:なし ブルーとゴールドをアクセントに使った、デスクのある寝室の例。 このインテリア、よく見るとブルーとゴールドの使い方が絶妙!! デスクの上にゴールドのフレームに入ったアートが飾ってあるのですが、1枚だけカーテンと同じブルーを使ったアートが。 違う壁面にある色を意識して合わせると、こんなにまとまりを感じることができるんですね…。 ラグ:茶色 家具:茶色、ホワイト ダークブルー(ターコイズ? )の使い方が素敵なリビングのコーディネート例。 インパクトのあるソファの色に合わせたウィンドートリートメントがおしゃれ♪ 窓周り=カーテンという安直な発想ではなく、ローマンシェードにすることで、お部屋全体にシャープな印象をプラスする方法はインテリア好きなら知っておきたい手法です。 2-2. 【水色】カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 カーテン:ホワイト+水色 観葉植物で温かさを演出したリビングのコーディネート例。 寒色カーテンのリビングは、すっきりとした印象になりますが、寒々しい雰囲気になってしまうのが難点。 その欠点を植物の緑を使うことで上手にまとめたインテリアは、とても参考になりますね。 カーテン:水色 カーテンとソファの色を同じにしたリビングコーディネート例。 何個か前の事例もソファとカーテンの色が同じでしたが、こちらは、ライトなブルーの例。 同じ寒色でも、薄い色だとカジュアルっぽさが増すかな? カーテンの色選びの参考に。ダークブラウンの床色に合わせたコーディネート実例. 3. 中性色カーテンとダークブラウンの床のコーディネート例 3-1.